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4. 剰余の定理・因数定理

4.1 剰余の定理

剰余の定理 多項式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った余りは,$P(\alpha)$

補足

 多項式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った余りは,$P\left(-\dfrac ba\right)$

 3次式 $P(x)=x^3\!-\!2x^2\!-\!5x\!+\!7$ を,次の1次式で割った余りは?
(1) $x\!-\!3$  (2) $2x\!-\!3$

例題 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが4,$x+2$ で割ると余りは$-14$である.$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは?

4.2 因数定理

因数定理\[x-\alpha\mbox{ が多項式 }P(x)\mbox{ の因数}\iff P(\alpha)=0\]

例題 $x^3+3x^2-4x-12$ を因数分解せよ.

発展的補足

(次の内容は $n$ 次の多項式についても成り立つ.)

定理 $a,b,c$ を整数とする.整数を係数とし,最高次である3次の係数が1の多項式 $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ について,$P(\alpha)=0$ となる有理数 $\alpha$ がもし存在するならば,\[\alpha\mbox{ は}\mbox{整数であり,しかも } c\mbox{ の(正負の)約数}\]である.

注意

上の定理は,そもそも方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもっていないならば,何も主張していない.