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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

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1. 複素数 無料         【ノート
2. 2次方程式の解と判別式 無料 【ノート
3. 解と係数の関係         【ノート
4. 剰余の定理・因数定理      【ノート
5. 高次方程式           【ノート

4.剰余の定理・因数定理

4.1 剰余の定理

剰余の定理 多項式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った余りは,$P(\alpha)$

補足

 多項式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った余りは,$P\left(-\dfrac ba\right)$

証明

 多項式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った商を $Q(x)$,余りを $R$ (定数) とすると, \[P(x)=(ax+b)Q(x)+R\]  この両辺の $x$ を $-\dfrac ba$ とおくと, \[P\left(-\frac ba\right)=\left\{\underline{a\cdot\left(-\frac ba\right)+b}\right\}Q\left(-\frac ba\right)+R\]  { }内の下線部が0となるから, \[P\left(-\frac ba\right)=R\]

 3次式 $P(x)=x^3\!-\!2x^2\!-\!5x\!+\!7$ を,次の1次式で割った余りは?
  (1) $x\!-\!3$
  (2) $2x\!-\!3$

(1) $P(3)=3^3-2\cdot3^2-5\cdot3+7=8$ より,$\underline{\boldsymbol{8}}$
(2) $P\left(\dfrac32\right)\!=\!\left(\dfrac32\right)^3\!-\!2\!\cdot\!\left(\dfrac32\right)^2\!-\!5\!\cdot\!\dfrac32\!+\!7\!=\!\underline{\boldsymbol{-\dfrac{13}8}}$

例題

 多項式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが4,$x+2$ で割ると余りは $-14$ である.$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは?

 $P(x)$ を2次式 $(x-1)(x+2)\ (=x^2+x-2)$ で割った商を $Q(x)$,余りを $ax+b$ とすると,

$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b\ \ \cdots$ ①

 条件より,$P(1)=4,\ P(-2)=-14$ であるから,
 ①で $x=1$ とおいて, \[4=(1-1)(1+2)Q(1)+a+b\]

$\therefore a+b=4\ \ \cdots$ ②

 ①で $x=-2$ とおいて, \[-14=(-2-1)(-2+2)Q(-2)-2a+b\]

$\therefore -2a+b=-14\ \ \cdots$ ③

 ②,③を連立して解くと,$a=6,\ b=-2$.
 よって求める余りは,$\underline{\boldsymbol{6x-2}}$

4.2 因数定理

 多項式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $Q(x)$,余りを $R$ (定数) とおくと, \[P(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\]  いま,$R=0\ (\iff P(\alpha)=0\ )$ ならば, \[P(x)=(x-\alpha)Q(x)\] であるから,$x-\alpha$ は $P(x)$ の因数である.これを因数定理という:

因数定理\[x-\alpha\mbox{ が多項式 }P(x)\mbox{ の因数}\iff P(\alpha)=0\]

例題

 $x^3+3x^2-4x-12$ を因数分解せよ.

発展的補足

(次の内容は $n$ 次の多項式についても成り立つ.)

定理 $a,b,c$ を整数とする.整数を係数とし,最高次である3次の係数が1の多項式 $P(x)=x^3+ax^2+bx+c$ について,$P(\alpha)=0$ となる有理数 $\alpha$ がもし存在するならば,\[\alpha\mbox{ は}\mbox{整数であり,しかも } c\mbox{ の(正負の)約数}\]である.

証明

 $A$ を正の整数,$B$ を整数とする.
 有理数 $\alpha=\frac BA$ (既約) が,$P(\alpha)=0$ を満たすならば, \[\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0\ \ \cdots\mbox{①}\] であるから, \[\left(\frac BA\right)^3+a\left(\frac BA\right)^2+b\left(\frac BA\right)+C=0\] \[\therefore \frac{B^3}A=-(aB^2+bAB+cA^2)\]  左辺の $\frac{B^3}A$ は既約分数,左辺の $-(aB^2+bAB+cA^2)$ は整数であるから,$A=1$ でなければならない.
 故に,$\alpha=\frac B1=B$ となり,まずは $\boldsymbol{\alpha}$ が整数であることが示された.
 次に,

① $\iff \alpha(\alpha^2+a\alpha+b)=-c$

と変形すると,左辺の $\alpha$ 及び $\alpha^2+a\alpha+b$ が整数であるから, $\boldsymbol{\alpha}$ $\boldsymbol{c}$ の(正負の)約数

注意

上の定理は,そもそも方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもっていないならば,何も主張していない.


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