4. 剰余の定理・因数定理(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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4．剰余の定理・因数定理

4.1　剰余の定理

　例えば整式 $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割ると，商が $x^2-2x-4$，余りが $-5$ となるので

\[x^3-4x^2+3=(x-2)(x^2-2x-4)-5\]

と表せる．この式は，左辺を変形して右辺を導いただけのものであるから恒等式である．いま，この式の両辺の $x$ を2とおくと，

\[2^3-4\cdot2^2+3=(2-2)(2^2-2\cdot2-4)-5\]

となり，右辺はもちろん $-5$ であるが，恒等式であるからこれと等しい左辺も当然 $-5$ である．そして $-5$ というのは先ほどの割り算の余りである．これは偶然ではない．つまり $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割った余りは， $x^3-4x^2+3$ の $x$ に2を代入した値に等しい．

　一般に，整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数！)とすると，

\[P(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\]

と表せて，この両辺の $x$ を $\alpha$ とおくと，

\[P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+R\]

すなわち

\[P(\alpha)=R\]

となる：

剰余の定理　整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った余りは，$P(\alpha)$

補足

　整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った余りは，$P\left(-\dfrac ba\right)$

証明

　整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数) とすると， \[P(x)=(ax+b)Q(x)+R\] 　この両辺の $x$ を $-\dfrac ba$ とおくと， \[P\left(-\frac ba\right)=\left\{\underline{a\cdot\left(-\frac ba\right)+b}\right\}Q\left(-\frac ba\right)+R\] 　{　}内の下線部が０となるから， \[P\left(-\frac ba\right)=R\]

■

例題　3次式 $P(x)=x^3\!-\!2x^2\!-\!5x\!+\!7$ を，次の1次式で割った余りを求めよ．
　　(1)　$x\!-\!3$
　　(2)　$2x\!-\!3$

答

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(1) $P(3)=3^3-2\cdot3^2-5\cdot3+7=8$ より，$\underline{\boldsymbol{8}}$
(2) $P\left(\dfrac32\right)\!=\!\left(\dfrac32\right)^3\!-\!2\!\cdot\!\left(\dfrac32\right)^2\!-\!5\!\cdot\!\dfrac32\!+\!7\!=\!\underline{\boldsymbol{-\dfrac{13}8}}$

例題　整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが4，$x+2$ で割ると余りは $-14$ である．$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは？

ポイント
　　　(割る式の次数)＞(余りの次数)

答

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　$P(x)$ を2次式 $(x-1)(x+2)\ (=x^2+x-2)$ で割った商を $Q(x)$，余りを $ax+b$ とすると，

$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b\ \ \cdots$ ①

　条件より，$P(1)=4,\ P(-2)=-14$ であるから，①で $x=1$ とおいて， \[4=(1-1)(1+2)Q(1)+a+b\]

$\therefore a+b=4\ \ \cdots$ ②

　①で $x=-2$ とおいて， \[-14=(-2-1)(-2+2)Q(-2)-2a+b\]

$\therefore -2a+b=-14\ \ \cdots$ ③

　②，③を連立して解くと，$a=6,\ b=-2$．
　よって求める余りは，$\underline{\boldsymbol{6x-2}}$

4.2　因数定理

　整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数) とおくと， \[P(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\] 　いま，$R=0\ (\iff P(\alpha)=0\ )$ ならば， \[P(x)=(x-\alpha)Q(x)\] であるから，$x-\alpha$ は $P(x)$ の因数である．これを因数定理という：

因数定理\[x-\alpha\mbox{ が整式 }P(x)\mbox{ の因数}\iff P(\alpha)=0\]

例題　$x^3+3x^2-4x-12$ を因数分解せよ．

答

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　与式を $P(x)$ とおくと，

\[P(2)=2^3+3\cdot2^2-4\cdot2-12=0\]

　よって $P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ(因数定理)．割り算を行って，

\[P(x)=(x-2)(x^2+5x+6)\]

と表せるから，

\[\underline{\boldsymbol{P(x)=(x+2)(x-2)(x+3)}}\]

発展的補足

（次の内容は $n$ 次の整式についても成り立つ．）

証明

　$A$ を正の整数，$B$ を整数とする．
　有理数 $\alpha=\dfrac BA$ (既約) が，$P(\alpha)=0$ を満たすならば， \[\alpha^3+a\alpha^2+b\alpha+c=0\ \ \cdots\mbox{①}\] であるから， \[\left(\dfrac BA\right)^3+a\left(\dfrac BA\right)^2+b\left(\dfrac BA\right)+c=0\] \[\therefore \dfrac{B^3}A=-(aB^2+bAB+cA^2)\] 　左辺の $\dfrac{B^3}A$ は既約分数，左辺の $-(aB^2+bAB+cA^2)$ は整数であるから，$A=1$ でなければならない．
　故に，$\alpha=\dfrac B1=B$ となり，まずは $\boldsymbol{\alpha}$ が整数であることが示された．
　次に，

① $\iff \alpha(\alpha^2+a\alpha+b)=-c$

と変形すると，左辺の $\alpha$ 及び $\alpha^2+a\alpha+b$ が整数であるから， $\boldsymbol{\alpha}$ は $\boldsymbol{c}$ の(正負の)約数．

■

注意

　上の定理は，そもそも方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもっていないならば，何も主張していない．

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