2.　2次方程式の解と判別式(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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2.　2次方程式の解と判別式

　このノートでは，方程式の係数や定数項は基本的に実数を仮定する．

2.1　解の公式

Q. 　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は？

A.

\[\begin{align*} ax^2+bx+c&=0\\[5pt] a\left(x^2+\frac bax\right)&=-c\\[5pt] x^2+\frac bax&=-\frac ca\\[5pt] \left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}&=-\frac ca\ \ (\mbox{←平方完成})\\[5pt] \left(x+\frac b{2a}\right)^2&=\frac {b^2-4ac}{4a^2}\\[5pt] x+\frac b{2a}&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \underline{\boldsymbol{x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}}}\]

補足

　$ax^2+2b\,’x+c=0$ のとき， \[\begin{align*} x&=\frac{-2b\,’\pm\sqrt{(2b\,’\,)^2-4ac}}{2a}\\[5pt] &=\frac{-2b\,’\pm2\sqrt{{b\,’\,}^2-ac}}{2a}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac{-b\,’\pm\sqrt{{b\,’\,}^2-ac}}{a}}} \end{align*}\]

解の公式　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は，\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]　また，$ax^2+2b\,’x+c=0$ のときは，\[x=\frac{-b\,’\pm\sqrt{{b\,’\,}^2-ac}}a\]

例

(1) $x^2+5x-2=0$ \[x=\frac{-5\pm\sqrt{5^2-4\cdot1\cdot(-2)}}{2\cdot1}=\underline{\boldsymbol{\frac{-5\pm\sqrt{33}}2}}\]

(2) $3x^2-x+1=0$ \[\begin{align*} x&=\frac{-(-1)\pm\sqrt{(-1)^2-4\cdot3\cdot1}}{2\cdot3}\\[5pt] &=\frac{1\pm\sqrt{-11}}6=\underline{\boldsymbol{\frac{1\pm\sqrt{11}\,i}6}} \end{align*}\]

(3) $x^2+6x-3=0$ \[\begin{align*} x&=\frac{-3\pm\sqrt{3^2-1\cdot(-3)}}1\\[5pt] &=-3\pm\sqrt{12}=\underline{\boldsymbol{-3\pm2\sqrt3}} \end{align*}\]

2.2　判別式

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解は，解の公式により， \[x-\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\] である．この解の種類は，$\sqrt{\mbox{　}}$ の中身である $b^2-4ac$ の符号によって次のように決まる：

　　①　$b^2-4ac > 0\iff$ 異なる2つの実数解
　　②　$b^2-4ac = 0\iff$ 重解（1つの実数解）
　　①　$b^2-4ac < 0\iff$ 異なる2つの虚数解

　$b^2-4ac$ を2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の判別式 (Discriminant) といい，$D$ で表される．

補足

　$ax^2+2b\,’x+c=0$ のときは， \[x=\frac{-b\,’\pm\sqrt{{b\,’\,}^2-ac}}a\] であったから，解の判別は ${b\,’\,}^2-ac$ でできる．これは判別式 $D=b^2-4ac\Bigl(=(2b\,’)^2-4ac\Bigr)$ の4分の1であるから，しばしば $D/4$ で表される：

判別式　2次方程式 $ax^2\!+\!bx\!+\!c\!=\!0$ の解は，$D\!=\!b^2\!-\!4ac$ とすると， \[\left\{\begin{array}{l} D>0\iff \mbox{異なる2つの実数解をもつ}\\ D=0\iff \mbox{重解をもつ}\\ D<0\iff \mbox{異なる2つの虚数解をもつ} \end{array}\right.\] 　また，$ax^2\!+\!2b\,’x\!+\!c\!=\!0$ のときは，$D/4={b\,’\,}^2\!-\!ac$ とすると， \[\left\{\begin{array}{l} D/4>0\iff \mbox{異なる2つの実数解をもつ}\\ D/4=0\iff \mbox{重解をもつ}\\ D/4<0\iff \mbox{異なる2つの虚数解をもつ}\end{array}\right.\]

例題　次の2次方程式の解の種類を判別せよ．
(1)　$2x^2+3x+5=0$
(2)　$4x^2-12x+9=0$

答　判別式を $D$ とする．

(1)　$2x^2+3x+5=0$ \[D=3^2-4\cdot2\cdot5=-31< 0\] 　　よって，異なる2つの虚数解をもつ．　　　

(2)　$4x^2-12x+9=0$ \[D/4=(-6)^2-4\cdot9=0\] 　　よって，重解をもつ．　　　

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