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5. 高次方程式

5.1 高次方程式の解法

解法の手順

 $x^3+3x^2+4x+2=0$ を解け.

5.2 3次方程式の解と係数の関係

3次方程式の解と係数の関係 3次方程式 $ax^3\!+\!bx^2\!+\!cx\!+\!d\!=\!0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると,\begin{align*}&\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca\\ &\alpha\beta\gamma=-\frac da\end{align*}

補足

\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] という式は,因数定理から示される:
 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$とおくと,$P(\alpha)=0$,$P(\beta)=0$,$P(\gamma)=0$であるから,$P(x)$は$(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$を因数にもつ.よって$k$を定数として, \[P(x)=k(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] となる.これは$x$の恒等式であるから,$k=a$.

例題 3次方程式 $x^3\!+\!ax^2\!+\!x\!+\!b\!=\!0$の解のうち,2つが $-1$ と 2 のとき,定数 $a,b$ の値は?

補足