高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
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5．高次方程式
5.1 高次方程式の解法
多項式 $P(x)$ が3次以上のとき，方程式 $P(x)=0$ を高次方程式という．
解法の手順
- 発見的に1つ解 ($\alpha$ とする) を見つける．
- $P(x)$ を $x-\alpha$ で割る．
- 商が2次式になるまで①，②を繰り返す．
例題 $x^3+3x^2+4x+2=0$ を解け．
手順① 発見的に解の1つを見つける
係数が整数，かつ最高次の係数が1
→ 解の候補は定数項の正負の約数(前節)
→ $\pm1,\ \pm2$ このうち $-1$ が解．
手順③ 手順①，②を全ての因数が2次以下になるまで繰り返す．
よって，$(x+1)(x^2+2x+2)=0$ より
\[\underline{\boldsymbol{x=-1,\ -1\pm i}}\]
5.2 3次方程式の解と係数の関係
3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を，$\alpha,\beta,\gamma$ とすると， \[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] と因数分解できる．このとき \[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=a\{x^3\!-\!(\alpha+\beta+\gamma)x^2\!+\!(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x\!-\!\alpha\beta\gamma\}\\[5pt] &=ax^3\!-\!a(\alpha+\beta+\gamma)x^2\!+\!a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x\!-\!a\alpha\beta\gamma \end{align*}\] となるから，2次以下の係数を比較して， \[\begin{align*} b&=-a(\alpha+\beta+\gamma)\\[5pt] c&=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\[5pt] d&=-a\,\alpha\beta\gamma \end{align*}\] よって，次を得る：
3次方程式の解と係数の関係 3次方程式 $ax^3\!+\!bx^2\!+\!cx\!+\!d\!=\!0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると，\begin{align*}&\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca\\ &\alpha\beta\gamma=-\frac da\end{align*}
補足
\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] という式は，因数定理から示される：
$P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと，$P(\alpha)=0$，$P(\beta)=0$，$P(\gamma)=0$ であるから，$P(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ を因数にもつ．よって $k$ を定数として， \[P(x)=k(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] となる．これは $x$ の恒等式であるから，$k=a$．
例題 3次方程式 $x^3\!+\!ax^2\!+\!x\!+\!b\!=\!0$ の解のうち，2つが $-1$ と 2 のとき，定数 $a,b$ の値を求めよ．
答
解答例を表示する >
補足
「解と係数の関係」という用語を持ち出さず，恒等式の考え方を用いた次のような解法も重要：
～・～・～・
$-1$ と $2$ 以外の解を $p$ とすると，
\[x^3+ax^2+x+b=(x+1)(x-2)(x-p)\]
と因数分解できる．右辺を展開して1次の係数を比較すると，
\[1=-2+2p-p\ \ \ \therefore p=3\]
よって，$(x+1)(x-2)(x-3)$ を展開して係数を比較することで，$\underline{\boldsymbol{a=-4,\ b=6}}$ を得る．
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