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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

スライド↓       ノート↓
1. 複素数 無料         【ノート
2. 2次方程式の解と判別式 無料 【ノート
3. 解と係数の関係         【ノート
4. 剰余の定理・因数定理      【ノート
5. 高次方程式           【ノート

5.高次方程式

5.1 高次方程式の解法

 多項式 $P(x)$ が3次以上のとき,方程式 $P(x)=0$ を高次方程式という.

解法の手順

①発見的に1つ解 ($\alpha$ とする) を見つける.
②$P(x)$ を $x-\alpha$ で割る.
③商が2次式になるまで①,②を繰り返す.

 $x^3+3x^2+4x+2=0$ を解け.

5.2 3次方程式の解と係数の関係

 3次方程式 $ax^3+bx^2+cx+d=0$ の3つの解を,$\alpha,\beta,\gamma$ とすると, \[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] と因数分解できる.このとき \[\begin{align*} (\mbox{右辺})&=a\{x^3\!-\!(\alpha+\beta+\gamma)x^2\!+\!(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x\!-\!\alpha\beta\gamma\}\\[5pt] &=ax^3\!-\!a(\alpha+\beta+\gamma)x^2\!+\!a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x\!-\!a\alpha\beta\gamma \end{align*}\] となるから,2次以下の係数を比較して, \[\begin{align*} b&=-a(\alpha+\beta+\gamma)\\[5pt] c&=a(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\\[5pt] d&=-a\,\alpha\beta\gamma \end{align*}\]  よって,次を得る:

3次方程式の解と係数の関係 3次方程式 $ax^3\!+\!bx^2\!+\!cx\!+\!d\!=\!0$ の3つの解を $\alpha,\beta,\gamma$ とすると,\begin{align*}&\alpha+\beta+\gamma=-\frac ba\\ &\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\frac ca\\ &\alpha\beta\gamma=-\frac da\end{align*}

補足

\[ax^3+bx^2+cx+d=a(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] という式は,因数定理から示される:
 $P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ とおくと,$P(\alpha)=0$,$P(\beta)=0$,$P(\gamma)=0$ であるから,$P(x)$ は $(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)$ を因数にもつ.よって $k$ を定数として, \[P(x)=k(x-\alpha)(x-\beta)(x-\gamma)\] となる.これは $x$ の恒等式であるから,$k=a$.

例題 3次方程式 $x^3\!+\!ax^2\!+\!x\!+\!b\!=\!0$ の解のうち,2つが $-1$ と 2 のとき,定数 $a,b$ の値は?

 $-1$ と $2$ 以外の解を $p$ とすると,解と係数の関係により, \[\left\{ \begin{array}{ll} -1+2+p=-a & \cdots\mbox{①}\\[5pt] -1\cdot2+2p+p\cdot(-1)=1 & \cdots\mbox{②}\\[5pt] -1\cdot2\cdot p=-b & \cdots\mbox{③} \end{array}\right.\]  ②より,$p=3$
 従って①,③より,$\underline{\boldsymbol{a=-4,\ b=6}}$.

補足

 「解と係数の関係」という用語を持ち出さず,恒等式の考え方を用いた次のような解法も重要:
~・~・~・
 $-1$ と $2$ 以外の解を $p$ とすると, \[x^3+ax^2+x+b=(x+1)(x-2)(x-p)\] と因数分解できる.右辺を展開して1次の係数を比較すると, \[1=-2+2p-p\ \ \ \therefore p=3\]  よって,$(x+1)(x-2)(x-3)$ を展開して係数を比較することで,$\underline{\boldsymbol{a=-4,\ b=6}}$ を得る.


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数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

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1. 複素数 無料         【ノート
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