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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

スライド↓       ノート↓
1. 複素数
 無料         【ノート
2. 2次方程式の解と判別式 無料 【ノート
3. 解と係数の関係         【ノート
4. 剰余の定理・因数定理      【ノート
5. 高次方程式           【ノート

1.複素数

 このノートでは,複素数 $a+b\,i$ について,「 $a,\ b$ は実数」という断りを省略することがある.

1.1 複素数

虚数単位

 2乗すると $-1$ になる数を $i$ で表す:

\[i^2=-1\]

 この $i$ を虚数単位($\,i\,\rm{maginay\ unit}$)という.

複素数

 実数 $a, b$ を用いて,$a+b\,i$ と表される数を複素数 (complex number)という:

$a+b\,i$ ($a,b$ は実数)

 このとき,$a$ を実部,$b$ を虚部という.

補足

① $b=0$ のとき,$a+b\,i$ は $a$ とする.
  つまり,実数も複素数である.

② $b\neq0$ のとき,$a+b\,i$ を虚数という.
  特に,$a=0$ のときは,$a+b\,i$ を $b\,i$ と表し,これを純虚数という.

③ 以上により,次のような包含関係になる:

複素数の相等

 2つの複素数 $a+b\,i$ と $c+d\,i$ が等しいとは,実部,虚部がそれぞれ等しいときをいう:

\[a+b\,i=c+d\,i\iff a=c,\ b=d\]

特に,

\[a+b\,i=0\iff a=b=0\]

共役な複素数

 $a+b\,i$ と $a-b\,i$ を互いに共役な複素数,または複素共役 (complex conjugate)という.

 実数 $a$ と共役な複素数は,$a$ 自身である.

1.2 複素数の四則計算

 $a,b,c,d$ を実数とする.2つの複素数$a+bi,\ c+di$ について,\[\begin{align*} &\mbox{加法}\ \ (a\!+\!bi)\!+\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!+\!c)\!+\!(b\!+\!d)i\\[5pt] &\mbox{減法}\ \ (a\!+\!bi)\!-\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!-\!c)\!+\!(b\!-\!d)i\\[5pt] &\mbox{乗法}\ \ (a\!+\!bi)(c\!+\!di)\!=\!(ac\!-\!bd)\!+\!(ad\!+\!bc)i\\[5pt] &\mbox{除法}\ \ \ \frac{c\!+\!di}{a\!+\!bi}\!=\!\frac{ac\!+\!bd}{a^2\!+\!b^2}\!+\!\frac{ad\!-\!bc}{a^2\!+\!b^2}i \end{align*}\]  ※ただし,除法では$a\!+\!b\,i\!\neq\!0.$

 複素数の四則計算は,虚数単位 $i$ を $i^2=-1$ とする以外は,通常の文字式と同様の取り扱いで計算できる:

加法:$(1+2\,i)+(3-4\,i)=(1+3)+(2-4)\,i$
           $=4-2\,i$

減法:$(1+2\,i)-(3-4\,i)=(1-3)+\{2-(-4)\}\,i$
            $=-2+6\,i$

乗法:$(1+2\,i)(3-4\,i)=1\cdot3-1\cdot4\,i+2\,i\cdot3-2\,i\cdot4\,i$
          $=3-4\,i+6\,i+8$
          $=11+2\,i$
   特に,
   $(1+2\,i)(1-2\,i)=1^2-(2\,i)^2$
          $=1+4$
          $=5$ (実数)

除法:$\dfrac{1+2\,i}{3-4\,i}=\dfrac{(1+2\,i)(3+4\,i)}{(3-4\,i)(3+4\,i)}$
       $=\dfrac{1\cdot3+1\cdot4\,i+2\,i\cdot3+2i\cdot4\,i}{3^2+4^2}$
       $=\dfrac{-5+10\,i}{25}$
       $=-\dfrac15+\dfrac25\,i$

(次の事実は基本的だが証明を要する.)

定理 $\alpha,\ \beta$ を複素数とするとき,\[\alpha\beta=0\iff\alpha=0\ \mbox{または}\ \beta=0\]

注意

 虚数については,

① 大小関係   ② 正負

考えない
 例えば,次のような表現はいずれも誤りである:

\[1+2\,i < 3+4\,i\] \[1+2\,i > 0\]

1.3 負の数の平方根

Q. $-5$ の平方根は?

A.

 $-5$ の平方根を $x$ とすると, \[\begin{align*} x^2&=-5\\[5pt] x^2+5&=0\\[5pt] x^2-(\sqrt5\,i)^2&=0\ \ \ (\gets(\sqrt5\,i)^2=-5)\\[5pt] (x+\sqrt5\,i)(x-\sqrt5\,i)&=0\ \ \ (\gets A^2\!-\!B^2\!=\!(A\!+\!B)(A\!-\!B))\\[5pt] \therefore x&=\pm\sqrt5\,i \end{align*}\]  従って,$-5$ の平方根は,$\sqrt5\,i$ と$-\sqrt5\,i$

 ここで,$\sqrt{-5}$ を $\sqrt5\,i$ と意味するものと定める:

\[\sqrt{-5}=\sqrt5\,i\]

 すると,$-5$ の平方根は,$\pm\sqrt{-5}$ と表せて,これは $\pm\sqrt5\,i$ を意味する.

 一般に,$a>0$ のとき,$\sqrt{-a}$ は $\sqrt a\,i$ を意味するものと定める:

 $a > 0$ のとき, \[\sqrt{-a}=\sqrt a\,i\]  特に, \[\sqrt{-1}=i\]

 このとき,次が成り立つ:

負の数の平方根  $a>0$ のとき,$-a$ の平方根は, \[\pm\sqrt{-a}\ \ \ \mbox{すなわち}\ \ \pm\sqrt a\,i\]

 $\sqrt{-6}=\sqrt6\,i$

 $\sqrt{-12}=\sqrt{12}\,i=2\sqrt3\,i$

 $\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt2\,i\sqrt3\,i=\sqrt6\,i^2=-\sqrt6$

 $\dfrac3{\sqrt{-2}}=\dfrac3{\sqrt2\,i}=\dfrac{3\sqrt2\,i}{\sqrt2\,i\times\sqrt2\,i}=\dfrac{3\sqrt2\,i}{-4}=-\dfrac{3\sqrt2}4\,i$

注意

 上の3番目の例で,次のような計算は誤りである:

$\sqrt{-2}\sqrt{-3}=\sqrt{(-2)\times(-3)}=\sqrt6$ (←誤り)

 $\sqrt a\sqrt b=\sqrt{ab}$ の公式は,$a ,b$ がともに正の数で成り立つもので,負の数では成り立たない.


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