数学Ⅱ

第2章 複素数と方程式

 このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

 このノートでは,複素数$a+bi$ について,「$a,\ b$ は実数」という断りを省略することがある

1. 複素数

1.1 複素数

補足

複素数の相等

共役な複素数

1.2 複素数の四則計算

 $a,b,c,d$ を実数とする.2つの複素数$a+bi,\ c+di$ について,\[\begin{align*} &\mbox{加法}\ \ (a\!+\!bi)\!+\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!+\!c)\!+\!(b\!+\!d)i\\[5pt] &\mbox{減法}\ \ (a\!+\!bi)\!-\!(c\!+\!di)\!=\!(a\!-\!c)\!+\!(b\!-\!d)i\\[5pt] &\mbox{乗法}\ \ (a\!+\!bi)(c\!+\!di)\!=\!(ac\!-\!bd)\!+\!(ad\!+\!bc)i\\[5pt] &\mbox{除法}\ \ \ \frac{c\!+\!di}{a\!+\!bi}\!=\!\frac{ac\!+\!bd}{a^2\!+\!b^2}\!+\!\frac{ad\!-\!bc}{a^2\!+\!b^2}i \end{align*}\]  ※ただし,除法では$a\!+\!bi\!\neq\!0.$

 $\alpha,\ \beta$ を複素数とするとき,\[\alpha\beta=0\iff\alpha=0\ \mbox{または}\ \beta=0\]

注意

1.3 負の数の平方根

 $a>0$ のとき,\[\sqrt{-a}=\sqrt ai\] 特に,\[\sqrt{-1}=i\] $-a$ の平方根は,\[\pm\sqrt{-a}=\pm\sqrt ai\]