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高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
スライド | ノート | |
1. 複素数 | [無料] | |
2. 2次方程式の解と判別式 | [無料] | |
3. 解と係数の関係 | [会員] | |
4. 剰余の定理・因数定理 | [会員] | |
5. 高次方程式 | [会員] |
3.解と係数の関係
3.1 解と係数の関係
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とすると,$D=b^2-4ac$ として解の公式より \[x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\] よって, \[\begin{align*} \alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}+\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=-\frac {2b}{2a}\\[5pt] &=-\frac ba\\[5pt] \alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=\frac{b^2-D}{4a^2}\\[5pt] &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[5pt] &=\frac {4ac}{4a^2}\\[5pt] &=\frac ca \end{align*}\]
解と係数の関係 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\]
補足
次のようにして求めることもできる:
(詳しくは 5.2 3次方程式の解と係数の関係 の補足を参照
$\alpha,\beta$ を2解にもつ2次の係数が $a$ である2次方程式は, \[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\] であるから,$ax^2+bx+c=0$ の2解が $\alpha,\beta$ のとき, \[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\ \ (\mbox{←恒等式})\] と変形できる.右辺を展開すると, \[ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\] よって,両辺の1次の係数と定数項を比較して, \[b=-a(\alpha+\beta),\ \ c=a\alpha\beta\] \[\therefore\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \ \alpha\beta=\frac ca\]
例題 2次方程式 $2x^2-4x+1=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とするとき,次の値を求めよ.
(1) $\alpha^2+\beta^2$
(2) $\alpha^3+\beta^3$
(3) $(\alpha-\beta)^2$
答
解と係数の関係により, \[\alpha+\beta=-\frac{-4}2=2,\ \ \alpha\beta=\frac12\]
(1) $\alpha^2+\beta^2
=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
$=2^2-2\cdot\dfrac12$
$=\underline{3}$
(2) $\alpha^3+\beta^3
=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
$=2^3-3\cdot\dfrac12\cdot2$
$=8-3$
$=\underline{5}$
別 $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)$
$=2\left(3-\dfrac12\right)$
$=\underline{5}$
(3) $(\alpha-\beta)^2
=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$
$=2^2-4\cdot\dfrac12$
$=\underline{2}$
補足
$x$ と $y$ の多項式において,$x$ と $y$ を入れ替えても元と同じ式になるものを,$x,y$ についての対称式という.
例
\[x+y,\ xy,\ x^2+y^2,\ x^3-5x^2y^2+y^3\]
特に,$x+y$ と $xy$ を基本対称式という.
重要
どんな対称式も,基本対称式だけで表すことができる.
例 $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$
3.2 2次式の因数分解
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とする.解と係数の関係により, \[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\] であるから, \[\begin{align*} ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right)\\[5pt] &=a\left\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta\right\}\\[5pt] &=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}\]
まとめ 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]
例題 2次式 $x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ.
答
2次方程式 $x^2-2x+3=0$ の2解は, \[x=1\pm\sqrt2i\] よって, \[\begin{align*} x^2-2x+3&=\left\{x-(1+\sqrt2i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt2i)\right\}\\[5pt] &=\underline{(x-1-\sqrt2i)(x-1+\sqrt2i)} \end{align*}\]
3.3 2数を解とする2次方程式
2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式の1つは, \[(x-\alpha)(x-\beta)=0\]
[一般には $a(x-\alpha)(x-\beta)=0\ \ (a\neq0)]$
展開して整理すると, \[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]
まとめ 2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式(の1つ)は,\[\alpha+\beta=p,\ \ \alpha\beta=q\]とすれば,\[x^2-px+q=0\]
例題 2数 $\dfrac12,\dfrac23$ を解にもち,係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ.
答
\[\frac12+\frac23=\frac76,\ \ \frac12\cdot\frac23=\frac13\] よって, \[x^2-\frac76x+\frac13=0\] 両辺を6倍して, \[\underline{6x^2-7x+2=0}\]
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