3. 解と係数の関係(ノート)
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数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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3．解と係数の関係

3.1　解と係数の関係

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式というのは，この方程式の解を係数 $a,b,c$ を用いて表したものであった．具体的には

\[x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

である．この表現は決してシンプルとは言い難いが，どんな2次方程式でも確実に解を求められるという点で大変に優れた式であった．

　2次方程式には重解も区別して数えると必ず解が2個存在し，それらを具体的に表現しようすると上のような複雑な式にならざるを得ないが，実は2つの解を個別にではなく，まとまりとして表現すると，実にシンプルな式に変わる．そのまとまりとは「和」と「積」である．

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とすると，$D=b^2-4ac$ として解の公式より

\[x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\]

和

\[\begin{align*} \alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}+\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=-\frac {2b}{2a}\\[5pt] &=-\frac ba \end{align*}\]

積

\[\begin{align*} \alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=\frac{b^2-D}{4a^2}\\[5pt] &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[5pt] &=\frac {4ac}{4a^2}\\[5pt] &=\frac ca \end{align*}\]

補足

　次のようにして求めることもできる：
（詳しくは 5.2　3次方程式の解と係数の関係 の補足を参照）

　$\alpha,\beta$ を2解にもつ2次の係数が $a$ である2次方程式は， \[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\] であるから，$ax^2+bx+c=0$ の2解が $\alpha,\beta$ のとき，

$ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)$　(←恒等式)

と変形できる．右辺を展開すると，

\[ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\]

　よって，両辺の1次の係数と定数項を比較して，

\[b=-a(\alpha+\beta),\ \ c=a\alpha\beta\]

\[\therefore\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \ \alpha\beta=\frac ca\]

例題　2次方程式 $2x^2-4x+1=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の値を求めよ．
　　(1) $\alpha^2+\beta^2$
　　(2) $\alpha^3+\beta^3$
　　(3) $(\alpha-\beta)^2$

答

　解と係数の関係により， \[\alpha+\beta=-\frac{-4}2=2,\ \ \alpha\beta=\frac12\]

（1）

　解答例を表示する >

\[\begin{align*} \alpha^2+\beta^2&=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\\[5pt] &=2^2-2\cdot\dfrac12\\[5pt] &=\underline{3} \end{align*}\]

（2）

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\[\begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)\\[5pt] &=2^3-3\cdot\dfrac12\cdot2\\[5pt] &=8-3\\[5pt] &=\underline{5} \end{align*}\] 別解 \[\begin{align*} \alpha^3+\beta^3&=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)\\[5pt] &=2\left(3-\dfrac12\right)\\[5pt] &=\underline{5} \end{align*}\]

（3）

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\[\begin{align*} (\alpha-\beta)^2&=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\[5pt] &=2^2-4\cdot\dfrac12\\[5pt] &=\underline{2} \end{align*}\]

補足

　$x$ と $y$ の多項式において，$x$ と $y$ を入れ替えても元と同じ式になるものを，$x,y$ についての対称式という．

例

\[x+y,\ xy,\ x^2+y^2,\ x^3-5x^2y^2+y^3\]

　特に，$x+y$ と $xy$ を基本対称式という．

　例　$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
　　　$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

3.2　2次式の因数分解

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とする．解と係数の関係により， \[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\] であるから， \[\begin{align*} ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right)\\[5pt] &=a\left\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta\right\}\\[5pt] &=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}\]

まとめ　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると，\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]

例題　2次式 $x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ．

答

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　2次方程式 $x^2-2x+3=0$ の2解は， \[x=1\pm\sqrt2\,i\] 　よって， \[\begin{align*} x^2-2x+3&=\left\{x-(1+\sqrt2\,i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt2\,i)\right\}\\[5pt] &=\underline{(x-1-\sqrt2\,i)(x-1+\sqrt2\,i)} \end{align*}\]

3.3　2数を解とする2次方程式

　2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式の1つは， \[(x-\alpha)(x-\beta)=0\]

[一般には $a(x-\alpha)(x-\beta)=0\ \ (a\neq0)]$

　展開して整理すると， \[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]

まとめ　2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式(の1つ)は，\[\alpha+\beta=p,\ \ \alpha\beta=q\]とすれば，\[x^2-px+q=0\]

例題　2数 $\dfrac12,\dfrac23$ を解にもち，係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ．

答

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\[\frac12+\frac23=\frac76,\ \ \frac12\cdot\frac23=\frac13\] 　よって， \[x^2-\frac76x+\frac13=0\] 　両辺を6倍して， \[\underline{6x^2-7x+2=0}\]

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