このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

3. 解と係数の関係

3.1 解と係数の関係

解と係数の関係 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\]

補足 (次節以降も参照)

次のようにして求めることもできる:

 2次方程式 $2x^2-4x+1=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とするとき,次の値を求めよ.
(1) $\alpha^2+\beta^2$
(2) $\alpha^3+\beta^3$
(3) $(\alpha-\beta)^2$

補足

3.2 2次式の因数分解

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]

 2次式 $x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ.

3.3 2数を解とする2次方程式

 2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式(の1つ)は,\[\alpha+\beta=p,\ \ \alpha\beta=q\]とすれば,\[x^2-px+q=0\]

 2数 $\dfrac12,\dfrac23$ を解にもち,係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ.