3. 解と係数の関係(ノート)
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数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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3．解と係数の関係

3.1　解と係数の関係

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とすると，$D=b^2-4ac$ として解の公式より \[x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\] 　よって， \[\begin{align*} \alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}+\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=-\frac {2b}{2a}\\[5pt] &=-\frac ba\\[5pt] \alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=\frac{b^2-D}{4a^2}\\[5pt] &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[5pt] &=\frac {4ac}{4a^2}\\[5pt] &=\frac ca \end{align*}\]

解と係数の関係　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると，\[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\]

補足

次のようにして求めることもできる：
（詳しくは 5.2　3次方程式の解と係数の関係 の補足を参照

　$\alpha,\beta$ を2解にもつ2次の係数が $a$ である2次方程式は， \[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\] であるから，$ax^2+bx+c=0$ の2解が $\alpha,\beta$ のとき， \[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\ \ (\mbox{←恒等式})\] と変形できる．右辺を展開すると， \[ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\] 　よって，両辺の1次の係数と定数項を比較して， \[b=-a(\alpha+\beta),\ \ c=a\alpha\beta\] \[\therefore\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \ \alpha\beta=\frac ca\]

例題　2次方程式 $2x^2-4x+1=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とするとき，次の値を求めよ．
　　(1) $\alpha^2+\beta^2$
　　(2) $\alpha^3+\beta^3$
　　(3) $(\alpha-\beta)^2$

答

　解と係数の関係により， \[\alpha+\beta=-\frac{-4}2=2,\ \ \alpha\beta=\frac12\]

(1) $\alpha^2+\beta^2 =(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
　　　　　　$=2^2-2\cdot\dfrac12$
　　　　　　$=\underline{3}$

(2) $\alpha^3+\beta^3 =(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
　　　　　　$=2^3-3\cdot\dfrac12\cdot2$
　　　　　　$=8-3$
　　　　　　$=\underline{5}$
　別　$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)$
　　　　　　　$=2\left(3-\dfrac12\right)$
　　　　　　　$=\underline{5}$

(3) $(\alpha-\beta)^2 =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$
　　　　　　$=2^2-4\cdot\dfrac12$
　　　　　　$=\underline{2}$

補足

$x$ と $y$ の多項式において，$x$ と $y$ を入れ替えても元と同じ式になるものを，$x,y$ についての対称式という．

例

\[x+y,\ xy,\ x^2+y^2,\ x^3-5x^2y^2+y^3\]

　特に，$x+y$ と $xy$ を基本対称式という．

重要

　どんな対称式も，基本対称式だけで表すことができる．

　例　$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$
　　　$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y)$

3.2　2次式の因数分解

　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とする．解と係数の関係により， \[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\] であるから， \[\begin{align*} ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right)\\[5pt] &=a\left\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta\right\}\\[5pt] &=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}\]

まとめ　2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると，\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]

例題　2次式 $x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ．

答

　2次方程式 $x^2-2x+3=0$ の2解は， \[x=1\pm\sqrt2i\] 　よって， \[\begin{align*} x^2-2x+3&=\left\{x-(1+\sqrt2i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt2i)\right\}\\[5pt] &=\underline{(x-1-\sqrt2i)(x-1+\sqrt2i)} \end{align*}\]

3.3　2数を解とする2次方程式

　2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式の1つは， \[(x-\alpha)(x-\beta)=0\]

[一般には $a(x-\alpha)(x-\beta)=0\ \ (a\neq0)]$

　展開して整理すると， \[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]

まとめ　2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式(の1つ)は，\[\alpha+\beta=p,\ \ \alpha\beta=q\]とすれば，\[x^2-px+q=0\]

例題　2数 $\dfrac12,\dfrac23$ を解にもち，係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ．

答

\[\frac12+\frac23=\frac76,\ \ \frac12\cdot\frac23=\frac13\] 　よって， \[x^2-\frac76x+\frac13=0\] 　両辺を6倍して， \[\underline{6x^2-7x+2=0}\]

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