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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

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1. 複素数 無料         【ノート
2. 2次方程式の解と判別式 無料 【ノート
3. 解と係数の関係         【ノート
4. 剰余の定理・因数定理      【ノート
5. 高次方程式           【ノート

3.解と係数の関係

3.1 解と係数の関係

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とすると,$D=b^2-4ac$ として解の公式より \[x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\]  よって, \[\begin{align*} \alpha+\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}+\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=-\frac {2b}{2a}\\[5pt] &=-\frac ba\\[5pt] \alpha\beta&=\frac{-b+\sqrt D}{2a}\cdot\frac{-b-\sqrt D}{2a}\\[5pt] &=\frac{b^2-D}{4a^2}\\[5pt] &=\frac{b^2-(b^2-4ac)}{4a^2}\\[5pt] &=\frac {4ac}{4a^2}\\[5pt] &=\frac ca \end{align*}\]

解と係数の関係 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\]

補足

次のようにして求めることもできる:
(詳しくは 5.2 3次方程式の解と係数の関係補足を参照

 $\alpha,\beta$ を2解にもつ2次の係数が $a$ である2次方程式は, \[a(x-\alpha)(x-\beta)=0\] であるから,$ax^2+bx+c=0$ の2解が $\alpha,\beta$ のとき, \[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\ \ (\mbox{←恒等式})\] と変形できる.右辺を展開すると, \[ax^2+bx+c=ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta\]  よって,両辺の1次の係数と定数項を比較して, \[b=-a(\alpha+\beta),\ \ c=a\alpha\beta\] \[\therefore\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \ \alpha\beta=\frac ca\]

 2次方程式 $2x^2-4x+1=0$ の2解を $\alpha,\ \beta$ とするとき,次の値を求めよ.
  (1) $\alpha^2+\beta^2$
  (2) $\alpha^3+\beta^3$
  (3) $(\alpha-\beta)^2$

 解と係数の関係により, \[\alpha+\beta=-\frac{-4}2=2,\ \ \alpha\beta=\frac12\]

(1) $\alpha^2+\beta^2 =(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta$
      $=2^2-2\cdot\dfrac12$
      $=\underline{3}$

(2) $\alpha^3+\beta^3 =(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)$
      $=2^3-3\cdot\dfrac12\cdot2$
      $=8-3$
      $=\underline{5}$
  $\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)$
       $=2\left(3-\dfrac12\right)$
       $=\underline{5}$

(3) $(\alpha-\beta)^2 =(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta$
      $=2^2-4\cdot\dfrac12$
      $=\underline{2}$

補足

$x$ と $y$ の多項式において,$x$ と $y$ を入れ替えても元と同じ式になるものを,$x,y$ についての対称式という.

\[x+y,\ xy,\ x^2+y^2,\ x^3-5x^2y^2+y^3\]

 特に,$x+y$ と $xy$ を基本対称式という.

重要

 どんな対称式も,基本対称式だけで表すことができる.

3.2 2次式の因数分解

 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とする.解と係数の関係により, \[\alpha+\beta=-\frac ba,\ \ \alpha\beta=\frac ca\] であるから, \[\begin{align*} ax^2+bx+c&=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right)\\[5pt] &=a\left\{x^2-(\alpha +\beta )x+\alpha\beta\right\}\\[5pt] &=a(x-\alpha)(x-\beta) \end{align*}\]

まとめ 2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2解を $\alpha,\beta$ とすると,\[ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)\]

 2次式 $x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ.

 2次方程式 $x^2-2x+3=0$ の2解は, \[x=1\pm\sqrt2i\]  よって, \[\begin{align*} x^2-2x+3&=\left\{x-(1+\sqrt2i)\right\}\left\{x-(1-\sqrt2i)\right\}\\[5pt] &=\underline{(x-1-\sqrt2i)(x-1+\sqrt2i)} \end{align*}\]

3.3 2数を解とする2次方程式

 2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式の1つは, \[(x-\alpha)(x-\beta)=0\]

[一般には $a(x-\alpha)(x-\beta)=0\ \ (a\neq0)]$

 展開して整理すると, \[x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\]

まとめ 2数 $\alpha,\beta$ を解にもつ2次方程式(の1つ)は,\[\alpha+\beta=p,\ \ \alpha\beta=q\]とすれば,\[x^2-px+q=0\]

 2数 $\dfrac12,\dfrac23$ を解にもち,係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ.

\[\frac12+\frac23=\frac76,\ \ \frac12\cdot\frac23=\frac13\]  よって, \[x^2-\frac76x+\frac13=0\]  両辺を6倍して, \[\underline{6x^2-7x+2=0}\]


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