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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート 問題
1. 放物線      
2. 楕円      
3. 双曲線      
4. 2次曲線の平行移動      
5. 2次曲線と直線      
6. 2次曲線の性質      
7. 曲線の媒介変数表示      
8. 極座標と極方程式      

2.楕円

 楕円というと,随分と身近な図形であるが,数学的にはどういう図形を楕円と呼ぶのか確認していこう.

2.1 楕円の方程式

 2定点F,F$’$ からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円という.

 このとき2つの定点F,F$’$ を焦点という.

楕円の方程式

 楕円の方程式がどのように表されるのか見ていこう.条件として,

  • 焦点:F$(c,0)$,F’$(-c,0)$
  • 距離の和:$2a$ (ただし,$a>c>0$)

とする.楕円上の点をPとすると,$\rm{FP+F\,’P}=2a$ である.この式から始めて楕円の方程式を導くまでの途中,2度の平方が行われる.一般に等式を2乗すると同値性が損なわれるが,実は逆も成り立つ.この点について詳しくはスライド で解説する.

\[\begin{align*} &{\rm FP+F\,’P}=2a\ \ \cdots\mbox{①}\\[5pt] \iff &\sqrt{(x-c)^2+y^2}+\sqrt{(x+c)^2+y^2}=2a\\[5pt] \iff &\sqrt{(x-c)^2+y^2}=2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\\[5pt] \Longrightarrow\ &(x-c)^2+y^2=\left(2a-\sqrt{(x+c)^2+y^2}\right)^2\\[5pt] \end{align*}\]

 両辺を展開して整理すると,

\[\begin{align*}
&a\sqrt{(x+c)^2+y^2}=a^2+cx\\[5pt]
\Longrightarrow\ &a^2\{(x+c)^2+y^2\}=(a^2+cx)^2\\[5pt]
\end{align*}\]

 よって,

\[(a^2-c^2)x^2+a^2y=a^2(a^2-c^2)\]

 ここで,$\sqrt{a^2-c^2}=b$ とおくと,

\[b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2\]

$\therefore \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\ \ \cdots$ ②

 従って条件①を満たす点は,曲線②上にある.逆に曲線②上の任意の点は,$c=\sqrt{a^2-b^2}$ とおくことで条件①を満たす.(詳しくはスライド で.)

 方程式②を,楕円の方程式の標準形という.

楕円の方程式 焦点が F$(c,0)$,F’$(-c,0)$,焦点からの距離の和が $2a$ (ただし,$a>c>0$) である楕円の方程式は,$\sqrt{a^2-c^2}=b$ とおくと
\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1\]

● 別の求め方

 先の導出法は大抵どの教科書にも採用されている方法であるが,長いルートの式を含んだかなり複雑な計算となっている.実は少しテクニカルだがもっとラクに計算する方法が存在する.スタートは上と同じで

${\rm FP+F\,’P}=2a$ …①

 そして次が計算をラクにする重要ポイントである.それは ${\rm FP^2-F\,’P^2}$ を計算するのである.

\[\begin{align*} &{\rm FP^2-F\,’P^2}\\[5pt] =&\{(x-c)^2+y^2\}-\{(x+c)^2+y^2\}\\[5pt] =&-4cx \end{align*}\]

であるから,左辺を因数分解して

\[({\rm FP+F\,’P})({\rm FP-F\,’P})=-4cx\]

 ①から ${\rm FP+F\,’P}=2a$ であったから,代入して両辺を $2a$ で割ると

${\rm FP-F\,’P}=-\dfrac{2cx}a$ …②

 すると,(①$+$②)$\div$2 より,

\[\begin{align*}
{\rm FP}&=a-\frac{cx}a\\[5pt]
\therefore {\rm FP^2}&=\left(a-\frac{cx}a\right)^2\\[5pt]
(x-c)^2+y^2&=a^2-2cx+\frac{c^2}{a^2}x^2\\[5pt]
\frac{a^2-c^2}{a^2}x^2+y^2&=a^2-c^2
\end{align*}\]

 $a>c>0$ より,$a^2-c^2>0$ であるから,$b=\sqrt{a^2-c^2}$ とおくと,

\[\frac{b^2}{a^2}x^2+y^2=b^2\]

 両辺を $b^2$ で割って

\[\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\]

発展的補足

 平面上の2点 $(x_1,\ y_1),\ (x_2,\ y_2)$ の距離は,$\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ で計算され,通常ルート $\sqrt{\hspace{6mm}}$ は外れないことが多い.ところが 放物線 のときがそうであったように,楕円の場合も楕円上の任意の点と,この楕円の一方の焦点までの距離は,例外的にルートがつかない式として表すことができるのである.