高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第5章 2次曲線

  スライド ノート
1. 放物線 [会員]  
2. 楕円 [会員]  
3. 双曲線 [会員]  
4. 2次曲線の平行移動 [会員]  
5. 2次曲線と直線 [会員]  
6. 2次曲線の性質 [会員]  
7. 曲線の媒介変数表示 [会員]  
8. 極座標と極方程式 [会員]  

7.曲線の媒介変数表示

7.1 媒介変数表示

 平面上の曲線 $C$が,変数 $t$ によって

\[x=f(t),\ y=g(t)\]

の形に表されるとき,これを曲線 $C$ の媒介変数表示,またはパラメータ表示という.また,変数$t$を媒介変数,またはパラメータという.

例題 $x=t-1,\ y=t^2-2t$ で表される図形 $C$ はどのようなものか.

こたえ

 $x=t-1$ より $t=x+1$.これを $y$ の式に代入して

\[y=(x+1)^2-2(x+1)=x^2-1\]

 よって,$C$ は放物線 $y=x^2-1$.

7.2 放物線の媒介変数表示

 $y^2=4px\ (\cdots$①) より $x=\dfrac{y^2}{4p}$.

 よって,$t$ を実数として $y=2pt$ とおくと,$y$ は実数全体をとり,$x=pt^2$.従って①の媒介変数表示の1つは

\[(pt^2,\ 2pt)\]

放物線 $y^2=4px$ の媒介変数表示     $(pt^2,\ 2pt)$

例題 $y^2=4x$ について,上と同様の媒介変数表示をせよ.

こたえ

 $y^2=4\cdot1x$より$p=1$.よって,$(t^2,2t)$

7.3 円の媒介変数表示

 原点Oを中心とする円 $x^2+y^2=a^2\ (\cdots$①) 上の点をP$(x,y)$ とし,動径OPの表す一般角を $\theta$ とすると,三角関数の定義から

\[x=a\cos\theta,\ y=a\sin\theta\]

 これは,円①の媒介変数表示となっている.

円 $x^2+y^2=a^2$ の媒介変数表示     $(a\cos\theta,\ a\sin\theta)$

例題 円 $x^2+y^2=4$ について,上と同様の媒介変数表示をせよ.

こたえ $(2\cos\theta,\ 2\sin\theta)$

7.4 楕円の媒介変数表示

 楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 上の点 $(x,y)$ に対し,

\[X=\frac xa,\ Y=\frac yb\]

とおくと,点 $(X,Y)$ は円 $x^2+y^2=1$ 上の点となるから

\[X=\cos\theta,\ Y=\sin\theta\]

と表せる.よって $\dfrac xa=\cos\theta,\ \dfrac yb=\sin\theta$ より,

\[x=a\cos\theta,\ y=b\sin\theta\]

楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示
    $(a\cos\theta,\ b\sin\theta)$

例題 楕円 $\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{y^2}4=1$ について,上と同様の媒介変数表示をせよ.

こたえ $(4\cos\theta,\ 2\sin\theta)$

重要な注意

 $\theta$ の位置に注意すること.

7.5 双曲線の媒介変数表示

 三角関数の公式より,

\[1+\tan^2\theta=\frac1{\cos^2\theta}\]

$\therefore \dfrac1{\cos^2\theta}-\tan^2\theta=1$

 よって,点 $\left(\dfrac1{\cos\theta},\tan\theta\right)\ \ \cdots$① は,双曲線 $x^2-y^2=1$ 上にある.

 一方,単位円周上の点Q $(\cos\theta,\sin\theta)$ に対して,図のように点Pをとると,Pの座標は①で表される.

 Pの位置は $\theta$ によって次のようになる:

 双曲線 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ で,$X=\dfrac xa,\ Y=\dfrac yb$ とおくと,$X^2-Y^2=1$.よって,点 $(X,Y)$ は①で表されるから,$\dfrac xa=\dfrac1{\cos\theta},\ \dfrac yb=\tan\theta$ より

\[(x,y)=\left(\frac a{\cos\theta},\ b\tan\theta\right)\]

双曲線 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ の媒介変数表示
    $\left(\dfrac a{\cos\theta},\ b\tan\theta\right)$

例題 双曲線 $\dfrac{x^2}9-\dfrac{y^2}4=1$ について,上と同様の媒介変数表示をせよ.

こたえ $\left(\dfrac 3{\cos\theta},\ 2\tan\theta\right)$

7.6 媒介変数で表された曲線の平行移動

 曲線 $x=f(t),\ y=g(t)$ を、$x$ 軸方向に $p$,$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した曲線の媒介変数表示は \[x=f(t)+p,\ y=g(t)+q\]

例題 $x=2\cos\theta+3,\ y=2\sin\theta+1$ で表される曲線はどのようなものか.

こたえ

 $x=2\cos\theta+3,\ y=2\sin\theta+1$ より

\[\cos\theta=\frac{x-3}2,\ \sin\theta=\frac{y-1}2\]

 $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ に代入して,

\[\left(\frac{x-3}2\right)^2+\left(\frac{y-1}2\right)^2=1\]

 よって $(x-3)^2+(y-1)^2=4$

 従って点 $(3,1)$ を中心とする半径2の円.

7.7 サイクロイド

 円の半径が $a$ のとき,サイクロイドの媒介変数表示は \[x=a(\theta-\sin\theta),\ y=a(1-\cos\theta)\]