高次方程式の解法と3次方程式の解と係数の関係をスライドでやさしく解説

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数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

	スライド	ノート
1. 複素数
2. 2次方程式の解と判別式
3. 解と係数の関係
4. 剰余の定理・因数定理
5. 高次方程式

5．高次方程式

5.1　高次方程式の解法

　多項式 $P (x)$ が3次以上のとき，方程式 $P (x) = 0$ を高次方程式という．

解法の手順

発見的に1つ解 ( $α$ とする) を見つける．
$P (x)$ を $x - α$ で割る．
商が2次式になるまで①，②を繰り返す．

例題　 $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2 = 0$ を解け．

手順①　発見的に解の1つを見つける

　係数が整数，かつ最高次の係数が1
　→　解の候補は定数項の正負の約数(前節)
　→　 $\pm 1, \pm 2$ 　このうち $- 1$ が解．

手順②　割り算を実行

　因数定理により，与式の左辺は $x + 1$ を因数にもつ．

手順③　手順①，②を全ての因数が2次以下になるまで繰り返す．

　よって， $(x + 1) (x^{2} + 2 x + 2) = 0$ より

$\underset{―}{x = - 1, - 1 \pm i}$

5.2　3次方程式の解と係数の関係

　3次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の3つの解を， $α, β, γ$ とすると， $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)$ と因数分解できる．このとき $\begin{aligned} (右辺) & = a {x^{3} - (α + β + γ) x^{2} + (α β + β γ + γ α) x - α β γ} \\ = a x^{3} - a (α + β + γ) x^{2} + a (α β + β γ + γ α) x - a α β γ \end{aligned}$ となるから，2次以下の係数を比較して， $\begin{aligned} b & = - a (α + β + γ) \\ c & = a (α β + β γ + γ α) \\ d & = - a α β γ \end{aligned}$ 　よって，次を得る：

3次方程式の解と係数の関係　3次方程式 $a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0$ の3つの解を $α, β, γ$ とすると， $\begin{aligned} α + β + γ = - \frac{b}{a} \\ α β + β γ + γ α = \frac{c}{a} \\ α β γ = - \frac{d}{a} \end{aligned}$

補足

$a x^{3} + b x^{2} + c x + d = a (x - α) (x - β) (x - γ)$ という式は，因数定理から示される：
　 $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ とおくと， $P (α) = 0$ ， $P (β) = 0$ ， $P (γ) = 0$ であるから， $P (x)$ は $(x - α) (x - β) (x - γ)$ を因数にもつ．よって $k$ を定数として， $P (x) = k (x - α) (x - β) (x - γ)$ となる．これは $x$ の恒等式であるから， $k = a$ ．

例題　3次方程式 $x^{3} + a x^{2} + x + b = 0$ の解のうち，2つが $- 1$ と 2 のとき，定数 $a, b$ の値を求めよ．

答

　解答例を表示する

　 $- 1$ と $2$ 以外の解を $p$ とすると，解と係数の関係により， ${\begin{cases} - 1 + 2 + p = - a & \dots ① \\ - 1 \cdot 2 + 2 p + p \cdot (- 1) = 1 & \dots ② \\ - 1 \cdot 2 \cdot p = - b & \dots ③ \end{cases}$ 　②より， $p = 3$
　従って①，③より， $\underset{―}{a = - 4, b = 6}$ ．

補足

　「解と係数の関係」という用語を持ち出さず，恒等式の考え方を用いた次のような解法も重要：
～・～・～・
　 $- 1$ と $2$ 以外の解を $p$ とすると， $x^{3} + a x^{2} + x + b = (x + 1) (x - 2) (x - p)$ と因数分解できる．右辺を展開して1次の係数を比較すると， $1 = - 2 + 2 p - p ∴ p = 3$ 　よって， $(x + 1) (x - 2) (x - 3)$ を展開して係数を比較することで， $\underset{―}{a = - 4, b = 6}$ を得る．

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