確率変数と確率分布-通常の変数との違いは何か｜数学B 統計的な推測

数学B　第3章　確率分布と統計的な推測

1．確率変数と確率分布

例　2枚の硬貨を同時に投げたとき，表の面が出た枚数を $X$ とすると，$X$ の値は 0，１，２のいずれかである．そして，それぞれの値をとる確率 $P$ は次のようになる：

$X$	0	1	2	計
$P$	$\dfrac14$	$\dfrac12$	$\dfrac14$	1

　この $X$ のように，試行によって値が決まる変数を確率変数(random variable)という．確率変数は $X$ のように通常大文字を用いて表す．

　確率変数と通常の変数との違いは，確率変数には各値に対して背後に確率が1つ対応しているというところにある．

確率変数とは

　試行の結果によって値が決まる変数を確率変数という．確率変数には各値に対して確率が与えられている．

　$X=k$ のときの確率を $P(X=k)$ と表す．上の例では，

\[P(X=0)=\frac14,\ P(X=1)=\frac12,\ P(X=2)=\frac14\]

となる．確率であるからこれらの合計は必ず1になる：

\[\begin{align*}
P(&X=0)+P(X=1)+P(X=2)\\[5pt]
=\ &\frac14+\frac12+\frac14\\[5pt]
=\ &1
\end{align*}\]

　また，

\[\begin{align*} P(X\geqq1)&=P(X=1)+P(X=2)\\[5pt] &=\frac12+\frac14\\[5pt] &=\frac34 \end{align*}\]

といったように，カッコ内に不等式で条件を与えることもできる．

　確率変数について例を用いてやや詳細に説明する．

　例として，さいころ1回投げを考える．しかしここではわかり易くするために，さいころには1から6ではなく，「ア，イ，ウ，エ，オ，カ」の文字が1つずつ書かれているとする．

　この場合の「試行」とは

さいころを1回投げる

である．この試行の結果さいころの目の出方は

ア，イ，ウ，エ，オ，カ

の6通りであり，これら1つ1つを根元事象という．この根元事象の集合を $U$ とする：

$U=\{$ア，イ，ウ，エ，オ，カ$\}$

　次に集合 $U$ の3つの部分集合 $A_1,A_2,A_3$ を次のように定める．

$A_1=\{$ア，イ，ウ$\},\ A_2=\{$エ，オ$\},\ A_3=\{$カ$\}$

　$A_1,A_2,A_3$ はそれぞれさいころを1回投げて「ア，イ，ウの目が出る事象」「エ，オの目が出る事象」「カの目が出る事象」に対応している．このように「集合」と「事象」を同じものとみなすことは既に数学A で学んだところである．また，

$A_1\cup A_2\cup A_3=U$
$A_1\cap A_2=\varnothing,\ A_2\cap A_3=\varnothing,\ A_3\cap A_1=\varnothing$

であることも注意しておく．ただし $\varnothing$ は空集合を表す．

　ここで確率変数 $X$ を導入する．確率変数とは試行の結果によって現れた事象について定まる「数」であるから，例えば次のようなものである．

試行の結果が集合 $A_1$ の要素のとき，$X=10$
試行の結果が集合 $A_2$ の要素のとき，$X=20$
試行の結果が集合 $A_3$ の要素のとき，$X=30$