独立な確率変数と和や積の期待値・分散｜数学B 統計的な推測

高校数学[総目次]

数学B　第3章　統計的な推測

	スライド	ノート	問題
1. 確率変数と確率分布
2. 確率変数の期待値と分散
3. 確率変数の変換
4. 確率変数の和と期待値
5. 独立な確率変数と期待値・分散
6. 二項分布
7. 正規分布
8. 母集団と標本
9. 推定
10. 仮説検定

5．独立な確率変数と期待値・分散

5.1　確率変数の独立

確率変数が互いに独立であるとはどういうことか

　百円玉を投げて表が出れば１，裏が出れば２をとる確率変数を $X$ とする．

　同様に十円玉についても表が出れば１，裏が出れば２をとる確率変数を $Y$ とする．

　2枚の硬貨は表と裏が等確率で出るとして，この2枚を同時に投げたときの同時分布は次のようになる．

$X\backslash Y$	$1$	$2$	計
$1$	$\dfrac14$	$\dfrac14$	$\dfrac12$
$2$	$\dfrac14$	$\dfrac14$	$\dfrac12$
計	$\dfrac12$	$\dfrac12$	$1$

　この表から例えば $X=1$ かつ $ Y=2$ の場合について，$P(X=1,Y=2)$ は同時分布表から $\dfrac14$ である．

　一方，周辺分布から $P(X=1)=\dfrac12$，$P(Y=2)=\dfrac12$ であるから，\[P(X=1)\times P(Y=2)=\frac12\times\frac12=\frac14\]である．つまり

\[P(X=1,Y=2)=P(X=1)P(Y=2)\]

が成り立っている．

　実のところ，$X=1,Y=2$ に限らず，$a,\ b$ がそれぞれ1と2のいずれであっても常に

\[P(X=a,Y=b)=P(X=a)P(Y=b)\]

が成り立つ．このとき2つの確率変数 $X,\ Y$ は互いに独立であるという．

確率変数の独立(定義)
　2つの確率変数 $X,Y$ について，$X$ のとる任意の値 $a$ と，$Y$ のとる任意の値 $b$ について，
\[P(X=a, Y=b)=P(X=a)P(Y=b)\]
が成り立つとき，確率変数 $X$ と $Y$ は互いに独立(independent)であるという．

「互いに独立」の意味について

　「互いに」というのは，$X$ は $Y$ から独立し，かつ $Y$ は $X$ から独立しているということである．実際，この式を $P(Y=b)$ で割ると，

\[\frac{P(X=a,Y=b)}{P(Y=b)}=P(X=a)\]

となるが，この左辺は $Y=b$ という条件の下で $X=a$ となる条件付き確率を表すから左辺を書き換えると

\[P_{Y=b}(X=a)=P(X=a)\]

となる．この式は $Y=b$ という条件を付けても $X=a$ となる確率に何の影響を及ぼしていないことを表しており，従って $X$ は $Y$ から「独立」しているといえる．

　一方，今度は両辺を $P(X=a)$ で割ると，

\[\frac{P(X=a,Y=b)}{P(X=a)}=P(Y=b)\]

\[\therefore P_{X=a}(Y=b)=P(Y=b)\]

となって，$Y$ は $X$ から「独立」しているといえる．

　従って $X$ と $Y$ は「互いに」独立しているといえる．

　このように，確率変数の独立とは，条件を付けても確率が変わらない，という極めて無風状態の関係のことである．

2つの試行が独立ならそれらに伴う確率変数も独立だが，逆はいえない

　2つの試行 $S,T$ が独立ならば，$S$ によって決まる確率変数 $X$ と，$T$ によって決まる確率変数 $Y$ は互いに独立である．このことはほとんど明らかなように思われるが念のため確認しておこう．

　試行 $S$ によって事象 $A$ が起こり，この事象に対応する確率変数 $X$ の値を $a$，また試行 $T$ によって事象 $B$ が起こり，この事象に対応する確率変数 $Y$ の値を $b$ とする．

　確率のところで学んだ独立試行の確率の公式 により

\[\begin{align*}
P(X=a,Y=b)&=P(A\cap B)\\[5pt]
&=P(A)P(B)\\[5pt]
&=P(X=a)P(Y=b)
\end{align*}\]

となる．これは２つの試行 $S,T$ の任意の結果に対して成り立つ式であるから確率変数 $X,Y$ は互いに独立である．

　しかしこの逆，すなわち確率変数 $X,Y$ が互いに独立であったとしても，その元となる試行が独立とは限らない．

反例　赤と白のカードが2枚ずつあり，それぞれのカードにはカタカナが1つずつ書かれている．今，次の4枚を考える：

赤ア，赤イ，白ア，白イ

　試行：4枚から1枚のカードを選ぶ
　確率変数 $X$：赤ならば1，白ならば２
　確率変数 $Y$：アならば1，イならば２

　このとき，$i,j$ を１または２として

\[P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)\]

が常に成り立つが，$X,Y$ の元となる試行は同一のものであり，独立ではない．

互いに独立な複数の確率変数の同時分布が知りたけれは，周辺分布がわかればよい

　2つの互いに独立な確率変数 $X,Y$ が，それぞれ次の確率分布に従うとする．

　このとき $X$ と $Y$ の同時分布は，$X$ と $Y$ が独立であるから次のようになる．

$X\backslash Y$	$y_1$	$y_2$	計
$x_1$	$p_1q_1$	$p_1q_2$	$p_1$
$x_2$	$p_2q_1$	$p_2q_2$	$p_2$
計	$q_1$	$q_2$	$1$

　この表からわかるように，$X,Y$ が互いに独立のとき，$X$ と $Y$ の同時分布は周辺分布を知るだけで求められるのである．

ポイント　$X,Y$ が互いに独立のとき，$X$ と $Y$ の同時分布は周辺分布を知るだけで求められる

3つ以上の確率変数の独立性

　3つ以上の確率変数の独立性も，2つの場合と同様に定義される．例えば，3つの確率変数 $X,Y,Z$ が互いに独立であるとは次の場合をいう．

　3つの確率変数 $X,Y,Z$ について，$X$ のとる任意の値 $a$ と，$Y$ のとる任意の値 $b$ と，$Z$ のとる任意の値 $c$ について，\[P(X\!=\!a,Y\!=\!b,Z\!=\!c)\!=\!P(X\!=\!a)P(X\!=\!b)P(Z\!=\!c)\]
が成り立つとき，確率変数 $X$ と $Y$ と $Z$ は互いに独立であるという．

発展的注意

$X,Y,Z$ のうちの任意の2つが互いに独立でも，$X,Y,Z$ が互いに独立であるとは限らない

　$X,Y,Z$ が互いに独立ならば，$X$ と $Y$，$Y$ と $Z$，$Z$ と $X$ というように任意の2つを選んでも互いに独立である(cf. 発展的補足1)．

　然るにその逆，すなわち $X$ と $Y$，$Y$ と $Z$，$Z$ と $X$ が互いに独立であっても $X,Y,Z$ が互いに独立になるとは限らない．

例　赤と白のカードが2枚ずつあり，それぞれのカードにはカタカナが1つずつ書かれている．今，次の4枚を考える：

赤ア，赤イ，白ア，白イ

　この4枚から1枚を無作為に選ぶという試行を行う．そして次の3つの確率変数を導入する．

　$X$：赤(赤アor赤イ)ならば10，白(白アor白イ)ならば20
　$Y$：ア(赤アor白ア)ならば30，イ(赤イor白イ)ならば40
　$Z$：赤アまたは白イならば50，赤イまたは白アならば60

　これら3つの確率変数の分布はそれぞれ次のようになる：

　このとき，$X$ と $Y$，$Y$ と $Z$，$Z$ と $X$ の同時分布は次のようになる：

　従って$X$ と $Y$，$Y$ と $Z$，$Z$ と $X$ は互いに独立である．然るに $X,Y,Z$ は互いに独立ではない．実際例えば $X=10,Y=30,Z=50$ に対応する事象は「赤ア」であるから

\[P(X=10,Y=30,Z=50)=\frac14\]

　一方

\[P(X=10)P(X=30)P(X=50)=\left(\frac12\right)^3=\frac18\]

であるから両者は一致しない．

5.2　事象の独立と従属

事象が独立である例

　4つの赤玉と4つの白玉合計8個の玉があり，それぞれの色の玉にはAとBが書かれた玉が2個ずつある．

赤A，赤A，赤B，赤B，白A，白A，白B，白B

　この8個の玉が入った袋からランダムに1個取り出し，玉に書かれた文字を当てるゲームを考えよう。