解と係数の関係【演習問題】

問題１【基本】
2次方程式 $2x^2- 6x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき，次を求めよ．
(1) $\alpha + \beta$
(2) $\alpha \beta$
(3) $\alpha^2 + \beta^2$
(4) $\alpha^3 + \beta^3$
(5) $(\alpha- \beta)^2$

問題２【基本】
$2x^2-2x+3$ を複素数の範囲で因数分解せよ．

問題３【基本】
$\alpha = \dfrac{1}{3},\ \beta = \dfrac{2}{5}$ を解にもつ，係数がすべて整数である2次方程式を1つ作れ．

問題４【標準】
2次方程式 $x^2+2x+4=0$ の2つの解を $\alpha$， $\beta$ とするとき，$\alpha-2$，$\beta-2$ を解とする2次方程式を作れ．