高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第5章 2次曲線
スライド | ノート | 問題 | |
1. 放物線 | |||
2. 楕円 | |||
3. 双曲線 | |||
4. 2次曲線の平行移動 | |||
5. 2次曲線と直線 | |||
6. 2次曲線の性質 | |||
7. 曲線の媒介変数表示 | |||
8. 極座標と極方程式 |

2.楕円
楕円というと,随分と身近な図形であるが,数学的にはどういう図形を楕円と呼ぶのか確認していこう.
2.1 楕円の方程式
楕円とは?
2定点F,F′′ からの距離の和が一定である点Pの軌跡を楕円という.

このとき2つの定点F,F′′ を焦点という.
楕円の方程式

楕円の方程式がどのように表されるのか見ていこう.条件として,
- 焦点:F(c,0)(c,0),F’(−c,0)(−c,0)
- 距離の和:2a2a (ただし,a>c>0a>c>0)
とする.楕円上の点をPとすると,FP+F′P=2aFP+F′P=2a である.この式から始めて楕円の方程式を導くまでの途中,2度の平方が行われる.一般に等式を2乗すると同値性が損なわれるが,実は逆も成り立つ.この点について詳しくはスライド で解説する.
FP+F′P=2a ⋯①⟺√(x−c)2+y2+√(x+c)2+y2=2a⟺√(x−c)2+y2=2a−√(x+c)2+y2⟹ (x−c)2+y2=(2a−√(x+c)2+y2)2
両辺を展開して整理すると,
a√(x+c)2+y2=a2+cx⟹ a2{(x+c)2+y2}=(a2+cx)2
よって,
(a2−c2)x2+a2y=a2(a2−c2)
ここで,√a2−c2=b とおくと,
b2x2+a2y2=a2b2
∴x2a2+y2b2=1 ⋯ ②
従って条件①を満たす点は,曲線②上にある.逆に曲線②上の任意の点は,c=√a2−b2 とおくことで条件①を満たす.(詳しくはスライド で.)
方程式②を,楕円の方程式の標準形という.
楕円の方程式 焦点が F(c,0),F’(−c,0),焦点からの距離の和が 2a (ただし,a>c>0) である楕円の方程式は,√a2−c2=b とおくと
x2a2+y2b2=1
● 別の求め方
もっとラクに楕円の方程式を求める方法
先の導出法は大抵どの教科書にも採用されている方法であるが,長いルートの式を含んだかなり複雑な計算となっている.実は少しテクニカルだがもっとラクに計算する方法が存在する.スタートは上と同じで
FP+F′P=2a …①
そして次が計算をラクにする重要ポイントである.それは FP2−F′P2 を計算するのである.
FP2−F′P2={(x−c)2+y2}−{(x+c)2+y2}=−4cx
であるから,左辺を因数分解して
(FP+F′P)(FP−F′P)=−4cx
①から FP+F′P=2a であったから,代入して両辺を 2a で割ると
FP−F′P=−2cxa …②
すると,(①+②)÷2 より,
FP=a−cxa∴FP2=(a−cxa)2(x−c)2+y2=a2−2cx+c2a2x2a2−c2a2x2+y2=a2−c2
a>c>0 より,a2−c2>0 であるから,b=√a2−c2 とおくと,
b2a2x2+y2=b2
両辺を b2 で割って
x2a2+y2b2=1
発展的補足
楕円上の任意の点から焦点までの距離は,ルートがつかない
平面上の2点 (x1, y1), (x2, y2) の距離は,√(x1−x2)2+(y1−y2)2 で計算され,通常ルート √ は外れないことが多い.ところが 放物線 のときがそうであったように,楕円の場合も楕円上の任意の点と,この楕円の一方の焦点までの距離は,例外的にルートがつかない式として表すことができるのである.