5．2次曲線と直線【演習問題】｜スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

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5. 2次曲線と直線	[会員]		[会員]
6. 2次曲線の性質	[会員]
7. 曲線の媒介変数表示	[会員]
8. 極座標と極方程式	[会員]

演習問題

　大阪大学(2001)の一部です．原題では(2)までありましたが，これはその(1)です．問題自体は基本的ですが，文字式が膨らみがちなので，上手く塊を見つけてコンパクトにまとめることができるといいですね．

解答

　${\rm P}(x_1,\ y_1)\ \ (x_1<0,\ y_1>0)$ とすると，$\dfrac{{x_1}^2}{a^2}+\dfrac{{y_1}^2}{b^2}=1$ を満たす．

　点Pにおける接線 $l$ の方程式は $\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$

　直線 $m$ は原点Oを通り，$l\, /\!/\, m$ であるから $\dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=0$ すなわち $b^2x_1x+a^2y_1y=0$ と表される．

　よって点Pと直線 $m$ の距離は，$A=\sqrt{b^4{x_1}^2+a^4{y_1}^2}$ とおくと

${\rm PB}=\dfrac{|b^2{x_1}^2+a^2{y_1}^2|}A=\dfrac{a^2b^2\left(\dfrac{{x_1}^2}{a^2}+\dfrac{{y_1}^2}{b^2}\right)}A=a^2b^2$ …①

となる．

　次に点Aの座標を求める．$m$ の方程式を $y$ について解くと　$y=-\dfrac{b^2x_1}{a^2 y_1}x$ …②

　これを楕円の方程式に代入して

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{\left(-\dfrac{b^2 x_1}{a^2 y_1}x\right)^2}{b^2}=1\]

\[\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{b^2{x_1}^2}{a^4{y_1}^2}x^2=1\]

\[\dfrac{a^2{y_1}^2+b^2{x_1}^2}{a^4{y_1}^2}x^2=1\]

　$x^2$ について解いて

\[\begin{align*} x^2&=\dfrac{a^4{y_1}^2}{a^2{y_1}^2+b^2{x_1}^2}\\[5pt] &=\dfrac{a^4{y_1}^2}{a^2b^2\left(\dfrac{{x_1}^2}{a^2}+\dfrac{{y_1}^2}{b^2}\right)}=\dfrac{a^4{y_1}^2}{a^2b^2}=\dfrac{a^2{y_1}^2}{b^2} \end{align*}\]

　よって②より $y^2$ は

\[y^2=\left(-\dfrac{b^2x_1}{a^2y_1}\right)^2\cdot\dfrac{a^2{y_1}^2}{b^2}=\dfrac{b^2{x_1}^2}{a^2}\]

　故にOAの長さは

${\rm OA}=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{\dfrac{a^2{y_1}^2}{b^2}+\dfrac{b^2{x_1}^2}{a^2}}=\dfrac A{ab}$ …③

　従って①，③より

\[{\rm OA\cdot PB}=\dfrac A{ab}\cdot\dfrac{a^2b^2}A=ab\]

■

補足

　点Aの座標を求めるところが計算量が多く，大変だった訳ですが，次のように円と楕円の親戚関係を用いることで簡単に求めることもできます．

　${\rm P}(x_1,\ y_1)$
　↓　$y$ 軸方向に $\dfrac ab$ 倍(この変換で$l/\!/m$は保存される)
　${\rm P’}\left(x_1,\ \dfrac {a y_1}b\right)$
　↓　$-90^\circ$ の回転移動(符号に注意し，(内積)=0を利用)
　${\rm A’}\left(\dfrac {a y_1}b,\ -x_1\right)$
　↓　$y$ 軸方向に $\dfrac ba$ 倍
　${\rm A}\left(\dfrac {a y_1}b,\ -\dfrac {b x_1}a\right)$