4．2次曲線の平行移動【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第5章　2次曲線

	スライド	ノート	問題
1. 放物線
2. 楕円
3. 双曲線
4. 2次曲線の平行移動
5. 2次曲線と直線
6. 2次曲線の性質
7. 曲線の媒介変数表示
8. 極座標と極方程式

4．2次曲線の平行移動

4.1 曲線 $F(x,y)=0$ の平行移動

　$F(x,y)=0$ の表す曲線を $x$ 軸方向に $p$，$y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動した点の座標を $(X,Y)$ とすると

$\{\begin{array}{l}X=x+p\\ Y=y+q\end{array}$ 　 $\therefore \{\begin{array}{l}x=X-p\\ y=Y-q\end{array}$

　これらを $F(x,y)=0$ に代入すると

$F(x-p,y-q)=0$

となる．これが平行移動後の方程式である．

注意

　2次曲線においては，頂点，焦点，準線，漸近線なども同じように平行移動する．

例題　放物線 $y^2=8x$ を，$x$ 軸方向に $-1$, $y$ 軸方向に2だけ平行移動した放物線$C$の方程式，頂点，焦点，準線を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する >

　放物線 $C$ の方程式は $$(y-2{)}^2=8(x+1)$$ 　また，放物線 $y^2=4\cdot 2x$ は

頂点 $(0,0)$，焦点 $(2,0)$，準線 $x=-2$

であり，これらも同様に平行移動するから，放物線 $C$ は，

頂点 $(-1,2)$，焦点 $(1,2)$，準線 $x=-3$

4.2 $a{x}^2+b{y}^2+cx+dy+e=0$ の表す図形

例題1　$4x^2-9y^2-8x-36y-68=0$ はどのような図形を表すか．

こたえ

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　与式を変形して $$4(x^2-2x+1)-9(y^2+4y+4)=36$$ 　すなわち　$4(x-1{)}^2-9(y+2{)}^2=36$
　よって　　${\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{9}}-{\displaystyle \frac{(y+2{)}^2}{4}}=1$
　これは，双曲線 ${\displaystyle \frac{x^2}{9}}-{\displaystyle \frac{y^2}{4}}=1$ を $x$ 軸方向に1，$y$ 軸方向に $-2$ だけ平行移動したものである．

例題2　2つの焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ で，焦点からの距離の和が10である楕円 $C$ の方程式を求めよ．

ポイント 　2次曲線の平行移動量は次に着目：
　　①放物線：頂点
　　②楕円：中心
　　③双曲線：中心

こたえ

　解答例を表示する

　焦点の座標が $(-2,1),(6,1)$ であるから，楕円の中心は $(2,1)$．また，焦点からの距離の和が10であるから，$C$ は，楕円 ${\displaystyle \frac{x^2}{5^2}}+{\displaystyle \frac{y^2}{b^2}}=1$ を $x$ 軸方向に2，$y$ 軸方向に1だけ平行移動したものである．

　この移動前の楕円は，焦点が $(\pm 4,0)$ で，焦点からの距離の和が10であるから， $$4=\sqrt{5^2-b^2}\therefore b=3$$ 　故に求める方程式は， $$\frac{(x-2{)}^2}{25}+\frac{(y-1{)}^2}{9}=1$$

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3. 双曲線
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8. 極座標と極方程式