2次曲線と直線(共有点の個数の求め方、接線の方程式の簡単な導出法） | 高校数学

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数学Ⅲ　第5章　2次曲線

	スライド	ノート	問題
1. 放物線
2. 楕円
3. 双曲線
4. 2次曲線の平行移動
5. 2次曲線と直線
6. 2次曲線の性質
7. 曲線の媒介変数表示
8. 極座標と極方程式

5．2次曲線と直線

5.1 2次曲線と直線の共有点

共有点の個数を求める際の考え方は，これまでと何ら変わらない

　2次曲線と直線の共有点を考察するにあたって，これまでにない何か特別なことがある訳ではない．基本的には $x$ か $y$ のどちらかの文字を消去して2次方程式を作り，その解の種類，個数を考察するのである．しかし楕円に関しては，下の例題にある通り楕円と円の親戚関係を利用することで，計算が大幅にラクになる場合がある．

直線との共有点の個数の求め方放物線：連立して判別式
楕　円：連立して判別式
双曲線：直線と漸近線が平行でない
　　　　　→放物線・楕円の-ケースと同じ
　　　　直線と漸近線が平行
　　　　　→漸近線そのもの→0個
　　　　　→それ以外→1個

例題1　双曲線 $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}3=1$ と直線 $y=x+k$ の共有点の個数を求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　漸近線は $\dfrac{x^2}{12}-\dfrac{y^2}3=0$ ，すなわち $(x+2y)(x-2y)=0$ より $y=\pm\dfrac12x$ ．これらは直線 $y=x+k$ と平行でない．従って $y$ を消去して， $x^2-4(x+k)^2=12$
　整理して　 $3x^2+8kx+4k^2+12=0$
　判別式を $D$ とすると
$\begin{align*} D/4&=(4k)^2-3(4k^2+12)\\[5pt] &=4k^2-36=4(k+3)(k-3)\end{align*}$
　よって
　　 $k<-3,3<k$ のとき，2個
　　 $k=\pm3$ のとき，　　　1個
　　 $-3<k<3$ のとき，　0個

補足

　 $D=0$ のとき，接するという．漸近線に平行な直線は接線になり得ない．

楕円の場合は円との親戚関係を用いた上手い考え方がある

例題2　楕円 $\dfrac{x^2}9+\dfrac{y^2}4=1$ と直線 $y=kx+3$ の共有点の個数を求めよ．

方針
例題1と同様に解決できるが，楕円と円の関係を用いた次の解法がおすすめ．

こたえ

　解答例を表示する

　楕円と直線を $y$ 軸方向に $\dfrac32$ 倍すると
$\left\{\begin{array}{l} \dfrac{x^2}9+\dfrac{(\frac23y)^2}4=1\\[5pt] \dfrac23y=kx+3 \end{array}\right.$
$\therefore \left\{\begin{array}{ll} x^2+y^2=9 &\cdots\ \mbox{①}\\[5pt] 3kx-2y+0=0 &\cdots\ \mbox{②} \end{array}\right.$
　円①の中心と直線②の距離 $d$ は，
$d=\frac{|9|}{\sqrt{(3k)^2+(-2)^2}}=\frac9{\sqrt{9k^2+4}}$
　 $d$ と円の半径３の大小を比較して，
(i) $d<3$ のとき
　　 $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}<3$ を解いて　 $k<-\dfrac{\sqrt5}3,\dfrac{\sqrt5}3<k$
　　このとき，円①と直線②の共有点は２個．
　　よって元の楕円と直線の共有点も２個．
(ii) $d=3$ のとき
　　 $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}=3$ を解いて　 $k=\pm\dfrac{\sqrt5}3$
　　このとき共有点は１個
(iii) $d>3$ のとき
　　 $\dfrac9{\sqrt{9k^2+4}}>3$ を解いて　 $-\dfrac{\sqrt5}3<k<\dfrac{\sqrt5}3$
　　このとき共有点は0個

5.2 2次曲線の接線の方程式

2次曲線上の点における接線の方程式には公式がある

　2次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ 上における接線の方程式は次で与えられる：

接点の座標が $(x_1,y_1)$ のとき，
　①放物線 $y^2=4px \to y_1y=2p(x+x_1)$
　②楕円 $\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1 \to \dfrac{x_1x}{a^2}+\dfrac{y_1y}{b^2}=1$
　③双曲線 $\left\{ \begin{array}{ll} \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=1\\[5pt] \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=-1 &\to \dfrac{x_1x}{a^2}-\dfrac{y_1y}{b^2}=-1 \end{array}\right.$

覚え方
　①放物線　 $2x\to x+x_1,\ y^2\to y_1y$
　②③楕円，双曲線　　 $x^2\to x_1x,\ y^2\to y_1y$

証明

　数学Ⅲの微分法を用いる証明が最もはやいが，それでなければ次の方法が明快．

　点 $(x_1,y_1)$ を通り，方向ベクトルが $(\alpha,\beta)$ である直線 $\ell$ のベクトル方程式は， $t$ を実数として $(x,y)=(x_1,y_1)+t(\alpha,\beta)$ $\therefore\left\{\begin{array}{l} x=x_1+\alpha t\\[5pt] y=y_1+\beta t \end{array}\right.\ \ \cdots(*)$ と表せる．この直線が2次曲線上の点 $(x_1,\ y_1)$ における接線となるとき， $x,y$ を消去して得られる $t$ の2次方程式が $\boldsymbol{t=0}$ を重解にもつ．(さもなくば， $t=0$ 以外の $t$ に対応する点で，2次曲線と直線が共有点をもち，接していないことになる．)

①　放物線

　 $y^2=4px$ に $(*)$ を代入して，
$\begin{align} (y_1+\beta t)^2&=4p(x_1+\alpha t)\\[5pt] {y_1}^2+2y_1\beta t+\beta^2t^2&=4px_1+4p\alpha t\\[5pt] \end{align}$
　 ${y_1}^2=4px_1$ に注意して整理すると，

$\beta^2t^2-2(2p\alpha-y_1\beta)t=0$ 　…①

　2次の係数 $\beta^2$ について， $\beta=0$ とすると，直線の方向ベクトルが $(\alpha,\ 0)$ となり，直線は $x$ 軸と平行になるが，放物線 $y^2=4px$ の接線にそのようなものはないので $\beta\neq0$ である．よって①は $t$ の2次方程式である． $\ell$ が放物線の接線のとき，この2次方程式が $t=0$ を重解にもつから，
$\begin{align} 2p\alpha-y_1\beta&=0\\[5pt] \therefore (2p,-y_1)\cdot(\alpha,\beta)&=0 \end{align}$ 　従ってベクトル $(2p,\ -y_1)$ は， $\ell$ の方向ベクトル $(\alpha,\beta)$ と垂直であるから， $\ell$ の法線ベクトルとなる．よって，接線の方程式は， $\begin{align} 2p(x-x_1)-y_1(y-y_1)&=0\\[5pt] 2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1\,y+y_1^2&=0\end{align}$

　 ${y_1}^2=4px_1$ であるから $2\,p\,x-2\,p\,x_1-y_1y+4\,p\,x_1=0$ $\therefore y_1y=2p(x+x_1)$

②，③　楕円，双曲線