複素数とは何か？虚数単位 i の意味と四則計算・負の平方根までスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

	スライド	ノート	演習
1. 複素数
2. 2次方程式の解と判別式
3. 解と係数の関係
4. 剰余の定理・因数定理
5. 高次方程式

1．複素数

　このノートでは，複素数 $a+b\,i$ について，「 $a,\ b$ は実数」という断りを省略することがある．

1.1　複素数

　方程式 $x^2=a$ は，$a\geqq0$ のとき $x=\pm\sqrt a$ を解にもつ．例えば $x^2=1$ のとき $x=\pm1$，$x^2=25$ のとき $x=\pm5$，$x^2=0$ のとき $x=0$ 等々．一方，$x^2=-1$ や $x^2=-4$ は解をもたない．どんな数も2乗すると0以上になるからだ．

　ここでの目標は，方程式 $x^2=a$ において，$a<0$ の場合であっても解をもつように数を拡張することにある．

2乗すると負になる数を考える

　方程式「$x^2=$(負の数)」にも解をもたせるためにはこれまでの数だけでは足りない．次に示す全く新しい数「 $i$ 」を考えることで，この難局を乗り越える．

虚数単位

　2乗すると $-1$ になる数を $i$ で表す：

$i^2=-1$

　この $i$ を虚数単位(きょすうたんい，$\,i\,\rm{maginay\ unit}$)という．imaginary unit は直訳すれば「想像上の単位」ということになろうが，この「想像」は現実を逃避するためのものではない．歴史上の数学者が編み出したこの $i$ は，遊び心といったおふざけなどでは決してない，数学の骨格を変えるほどの大発明だったのである．$i$ が数学の世界に登場したことで，数学は大いなる進歩を遂げることになる．残念なことに，その素晴らしい内容の大部分は大学で学ぶこととなる．

　この虚数単位 $i$ を用いてここに「複素数(ふくそすう)」と呼ばれる新しい数を導入する：

複素数

　実数 $a, b$ を用いて，$a+b\,i$ と表される数を複素数 (complex number)という：

　このとき，$a$ を実部（じつぶ），$b$ を虚部（きょぶ）という．もう少し簡単な表現にすると

(実数)＋(実数) $i$

の形をしている数を複素数というのである．具体的には $2+3\,i$ や $-4+\sqrt5\,i$ や $-\dfrac{\sqrt2}3-\dfrac{\sqrt7}8\,i$ などである．こういった数の総称が複素数である．

いくつかの重要な補足

複素数 $a+b\,i$ は実数をも内包する新しい数

①　$b=0$ のとき，$a+b\,i$ は $a$ とする．
　　つまり実数も複素数である．例えば5は $5+0\,i$，$-2$ は $-2+0\,i$ など．

②　$b\neq0$ のとき，$a+b\,i$ を虚数という．
　　特に，$a=0$ のときは，$a+b\,i$ を $b\,i$ と表し，これを純虚数という．
　　例えば $2\,i$ や $-3\,i,\ \dfrac{\sqrt6}2i$ など．

③　以上により，次のような包含関係になる：

　要するに，私たちが知っている数はすべて複素数であるということである．

2つの複素数が等しいとはどういうときをいうのか

　2つの複素数 $a+b\,i$ と $c+d\,i$ が等しいとは，実部，虚部がそれぞれ等しいときをいう：

特に，$0$ は $0+0\,i$ であるから