数学Ⅱ　複素数と方程式
1．複素数【演習問題】

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

1．複素数

問題１【基本】
複素数 $\alpha = a + b\,i$ （ $a, b$ は実数）に対して， $\alpha\overline{\alpha}$ が必ず実数になることを証明せよ．ただし， $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ の共役な複素数とする．

問題２【基本】
$-4$ の平方根を求めよ．

問題３【基本】
次の連立方程式を満たす複素数 $\alpha,\ \beta$ を求めよ．

$\begin{cases} \alpha + \beta = 2 + 3i \\[5pt] \alpha-\beta = 4-i \end{cases}$

．

複素数 $\alpha = a + b\,i$ （ $a, b$ は実数）に対して， $\alpha\overline{\alpha}$ が必ず実数になることを証明せよ．ただし， $\overline{\alpha}$ は $\alpha$ の共役な複素数とする．

$\alpha = a + b\,i$ ， $\overline{\alpha} = a-b\,i$ より，

$\alpha \overline{\alpha} = (a + b\,i)(a-b\,i) = a^2-(b\,i)^2 = a^2 + b^2$

$a, b$ は実数なので， $a^2 + b^2$ は実数．
従って $\alpha\overline{\alpha}$ は実数である．

■

$-4$ の平方根を求めよ．

$-4$ の平方根を $\alpha$ とすると　 $\alpha^2 = -4$
$\therefore \alpha = \pm\sqrt{-4} = \pm 2\,i$

答えは　 $\boxed{\pm2\,i}$

次の連立方程式を満たす複素数 $\alpha,\ \beta$ を求めよ．

$\begin{cases} \alpha + \beta = 2 + 3i \\[5pt] \alpha-\beta = 4-i \end{cases}$

両辺を足すと

$2\alpha = (2 + 3\,i) + (4 – i) = 6 + 2\,i$

$\therefore\ \ \alpha = 3 + i$

両辺を引くと

$2\beta = (2 + 3\,i)-(4-i) = -2 + 4\,i$

$\therefore\ \ \beta = -1 + 2\,i$

答えは　 $\boxed{\alpha=3+\,i,\ \beta=-1+2\,i}$