高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
| スライド | ノート | 演習 | |
| 1. 複素数 | |||
| 2. 2次方程式の解と判別式 | |||
| 3. 解と係数の関係 | |||
| 4. 剰余の定理・因数定理 | |||
| 5. 高次方程式 |
2．2次方程式の解と判別式
演習問題
問題１【基本】
次の2次方程式を解の公式を使って解け．
(1) $2x^2-3x + 5 = 0$
(2) $x^2 + 6x + 1 = 0$
(3) $-3x^2-2x + 4 = 0$
問題２【基本】
次の2次方程式について，判別式 $D$ を求め，解の種類（異なる2つの実数解，重解，異なる2つの虚数解）を判定せよ．
(1) $3x^2-7x + 2 = 0$
(2) $x^2-2x + 5 = 0$
(3) $4x^2 + 4x + 1 = 0$
問題３【基本】
次の2次方程式を因数分解して解け．
(1) $x^2-5x + 6 = 0$
(2) $2x^2 + 5x + 2 = 0$
問題４【基本】
$x^2 + 6x + 5 = 0$ を平方完成を用いて解け．
問題５【基本】
$k$ を実数とする．2次方程式 $x^2 + 2kx + 2k^2+4 = 0$ の解の種類を判別せよ．
問題６【標準】
2次方程式 $3x^2 + (k-2)x – k = 0$ が重解をもつように定数 $k$ の値を定め，そのときの重解を求めよ．
2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の解の公式は
\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
です．特に1次の係数が $2b’$ のとき，すなわち $ax^2+2b’x+c=0$ のときは
\[x=\dfrac{-b’\pm\sqrt{{b’}^2-ac}}{a}\]
となって計算が簡単になります．
解答
(1) 解の公式から
\[\begin{align*}
x&=\dfrac{-(-3)\pm\sqrt{(-3)^2-4\cdot2\cdot5}}{2\cdot2}\\[5pt]
&=\frac{3 \pm \sqrt{-31}}{4}\\[5pt]
&=\underline{ \frac{3 \pm \sqrt{31}\,i}{4}}
\end{align*}\]
(2) $x^2 + 6x + 1 = 0$ を $x^2 + 2\cdot\color{red}{3}x + 1 = 0$ と見て，$ax^2+2\,\color{red}{b’}x+c=0$ のときの解の公式から