高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
| スライド | ノート | 演習 | |
| 1. 複素数 | |||
| 2. 2次方程式の解と判別式 | |||
| 3. 解と係数の関係 | |||
| 4. 剰余の定理・因数定理 | |||
| 5. 高次方程式 |
4．剰余の定理・因数定理
4.1 剰余の定理
例えば整式 $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割ると，商が $x^2-2x-4$，余りが $-5$ となるので
\[x^3-4x^2+3=(x-2)(x^2-2x-4)-5\]
と表せる．この式は，左辺を変形して右辺を導いただけのものであるから恒等式である．いま，この式の両辺の $x$ を2とおくと，
\[2^3-4\cdot2^2+3=(2-2)(2^2-2\cdot2-4)-5\]
となり，右辺はもちろん $-5$ であるが，恒等式であるからこれと等しい左辺も当然 $-5$ である．そして $-5$ というのは先ほどの割り算の余りである．これは偶然ではない．つまり $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割った余りは， $x^3-4x^2+3$ の $x$ に2を代入した値に等しい．
一般に，整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数！)とすると，
\[P(x)=(x-\alpha)Q(x)+R\]
と表せて，この両辺の $x$ を $\alpha$ とおくと，
\[P(\alpha)=(\alpha-\alpha)Q(\alpha)+R\]
すなわち
\[P(\alpha)=R\]
となる：
剰余の定理 整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った余りは，$P(\alpha)$
補足
整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った余りは，$P\left(-\dfrac ba\right)$