剰余の定理・因数定理｜使い方・例題・有理数解の判定までスライドでやさしく解説

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

	スライド	ノート
1. 複素数
2. 2次方程式の解と判別式
3. 解と係数の関係
4. 剰余の定理・因数定理
5. 高次方程式

4．剰余の定理・因数定理

4.1　剰余の定理

　例えば整式 $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割ると，商が $x^2-2x-4$，余りが $-5$ となるので

$$x^3-4x^2+3=(x-2)(x^2-2x-4)-5$$

と表せる．この式は，左辺を変形して右辺を導いただけのものであるから恒等式である．いま，この式の両辺の $x$ を2とおくと，

$$2^3-4\cdot 2^2+3=(2-2)(2^2-2\cdot 2-4)-5$$

となり，右辺はもちろん $-5$ であるが，恒等式であるからこれと等しい左辺も当然 $-5$ である．そして $-5$ というのは先ほどの割り算の余りである．これは偶然ではない．つまり $x^3-4x^2+3$ を $x-2$ で割った余りは， $x^3-4x^2+3$ の $x$ に2を代入した値に等しい．

　一般に，整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数！)とすると，

$$P(x)=(x-\alpha )Q(x)+R$$

と表せて，この両辺の $x$ を $\alpha$ とおくと，

$$P(\alpha )=(\alpha -\alpha )Q(\alpha )+R$$

すなわち

$$P(\alpha )=R$$

となる：

剰余の定理　整式 $P(x)$ を1次式 $x-\alpha$ で割った余りは，$P(\alpha )$

補足

　整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った余りは，$P(-{\displaystyle \frac{b}{a}})$

証明

　整式 $P(x)$ を1次式 $ax+b$ で割った商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数) とすると， $$P(x)=(ax+b)Q(x)+R$$ 　この両辺の $x$ を $-{\displaystyle \frac{b}{a}}$ とおくと， $$P(-\frac{b}{a})=\left\{\underset{―}{a\cdot (-\frac{b}{a})+b}\right\}Q(-\frac{b}{a})+R$$ 　{　}内の下線部が０となるから， $$P(-\frac{b}{a})=R$$

■

例題　3次式 $P(x)=x^3-2x^2-5x+7$ を，次の1次式で割った余りを求めよ．
　　(1)　$x-3$
　　(2)　$2x-3$

答

　解答例を表示する

(1) $P(3)=3^3-2\cdot 3^2-5\cdot 3+7=8$ より，$\underset{―}{\mathbf{8}}$
(2) $P\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)={\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^3-2\cdot {\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)}^2-5\cdot {\displaystyle \frac{3}{2}}+7=\underset{―}{\mathbf{-}{\displaystyle \frac{\mathbf{13}}{\mathbf{8}}}}$

例題　整式 $P(x)$ を $x-1$ で割ると余りが4，$x+2$ で割ると余りは $-14$ である．$P(x)$ を $(x-1)(x+2)$ で割ったときの余りは？

ポイント
　　　(割る式の次数)＞(余りの次数)

答

　解答例を表示する

　$P(x)$ を2次式 $(x-1)(x+2)(=x^2+x-2)$ で割った商を $Q(x)$，余りを $ax+b$ とすると，

$P(x)=(x-1)(x+2)Q(x)+ax+b\cdots$ ①

　条件より，$P(1)=4,P(-2)=-14$ であるから，①で $x=1$ とおいて， $$4=(1-1)(1+2)Q(1)+a+b$$

$\therefore a+b=4\cdots$ ②

　①で $x=-2$ とおいて， $$-14=(-2-1)(-2+2)Q(-2)-2a+b$$

$\therefore -2a+b=-14\cdots$ ③

　②，③を連立して解くと，$a=6,b=-2$．
　よって求める余りは，$\underset{―}{\mathbf{6}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}}$

4.2　因数定理

　整式 $P(x)$ を $x-\alpha$ で割ったときの商を $Q(x)$，余りを $R$ (定数) とおくと， $$P(x)=(x-\alpha )Q(x)+R$$ 　いま，$R=0(⟺P(\alpha )=0)$ ならば， $$P(x)=(x-\alpha )Q(x)$$ であるから，$x-\alpha$ は $P(x)$ の因数である．これを因数定理という：

因数定理$$x-\alpha \text{ が整式 }P(x)\text{ の因数}⟺P(\alpha )=0$$

例題　$x^3+3x^2-4x-12$ を因数分解せよ．

答

　解答例を表示する

　与式を $P(x)$ とおくと，

$$P(2)=2^3+3\cdot 2^2-4\cdot 2-12=0$$

　よって $P(x)$ は $x-2$ を因数にもつ(因数定理)．割り算を行って，

$$P(x)=(x-2)(x^2+5x+6)$$

と表せるから，

$$\underset{―}{\mathit{P}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{)}\mathbf{=}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{-}\mathbf{2}\mathbf{)}\mathbf{(}\mathit{x}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{)}}$$

発展的補足

（次の内容は $n$ 次の整式についても成り立つ．）

証明

　$A$ を正の整数，$B$ を整数とする．
　有理数 $\alpha ={\displaystyle \frac{B}{A}}$ (既約) が，$P(\alpha )=0$ を満たすならば， $${\alpha }^3+a{\alpha }^2+b\alpha +c=0\cdots \text{①}$$ であるから， $${\left({\displaystyle \frac{B}{A}}\right)}^3+a{\left({\displaystyle \frac{B}{A}}\right)}^2+b\left({\displaystyle \frac{B}{A}}\right)+c=0$$ $$\therefore {\displaystyle \frac{B^3}{A}}=-(a{B}^2+bAB+c{A}^2)$$ 　左辺の ${\displaystyle \frac{B^3}{A}}$ は既約分数，左辺の $-(a{B}^2+bAB+c{A}^2)$ は整数であるから，$A=1$ でなければならない．
　故に，$\alpha ={\displaystyle \frac{B}{1}}=B$ となり，まずは $\mathit{\alpha }$ が整数であることが示された．
　次に，

① $⟺\alpha ({\alpha }^2+a\alpha +b)=-c$

と変形すると，左辺の $\alpha$ 及び ${\alpha }^2+a\alpha +b$ が整数であるから， $\mathit{\alpha }$ は $\mathit{c}$ の(正負の)約数．

■

注意

　上の定理は，そもそも方程式 $P(x)=0$ が有理数解をもっていないならば，何も主張していない．

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