高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
スライド | ノート | 演習 | |
1. 複素数 | |||
2. 2次方程式の解と判別式 | |||
3. 解と係数の関係 | |||
4. 剰余の定理・因数定理 | |||
5. 高次方程式 |

5.高次方程式
演習問題
問題1【基本】
次の3次方程式を解け.
(1) x3−2x2−x+2=0
(2) x3+4x2−8=0
問題2【基本】
4次方程式 x4+x2−6=0 を解け.
問題3【基本】
3次方程式 x3+ax2+bx+c=0 の3つの解を α,β,γ とするとき,次を a, b, c で表せ.
(1) α+β+γ
(2) αβ+βγ+γα
(3) αβγ
問題4【標準】
3次方程式 x3+ax2+bx+12=0 が 1 と 2 を解にもつとき,定数 a, b の値を求めよ.また,他の解を求めよ.
問題5【標準】
3次方程式 x3−3x2+ax+b=0 が 1+3i を解にもつとき,実数の定数 a, b を求めよ.また,他の解を求めよ.

高次方程式の解法は,まず発見的に1つ解を見つけてくることです.その候補は定数項の正負の約数です.
解答
(1)
係数がすべて整数で,かつ最高次である3次の係数が1ですから,この方程式が有理数解をもつとすれば,それは定数項である2の正負の約数,すなわち ±1, ±2 の4つです.
左辺を P(x) とおくと,
P(−1)=(−1)3−2(−1)2−(−1)+2=−1−2+1+2=0
従って P(x) は x+1 を因数にもつから割り算を行って因数分解をすると,
P(x)=(x+1)(x2+2x+2)
よって元の方程式は (x+1)(x2+2x+2)=0
x2+2x+2=0 は解の公式より
x=−1±√12−1⋅2=−1±√−1=−1±i
したがって,解は x=−1, −1±i
答えは x=−1, −1±i
(2)
係数がすべて整数で,かつ最高次である3次の係数が1ですから,この方程式が有理数解をもつとすれば,それは定数項である −8 の正負の約数,すなわち ±1,±2,±4,±8 の8つです.
左辺を P(x) とおくと,