高次方程式【演習問題】

数学Ⅱ　第2章　複素数と方程式

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1. 複素数
2. 2次方程式の解と判別式
3. 解と係数の関係
4. 剰余の定理・因数定理
5. 高次方程式

5．高次方程式

演習問題

問題１【基本】
次の3次方程式を解け．
(1) $x^3- 2x^2- x + 2 = 0$
(2) $x^3+4x^2-8=0$

問題２【基本】
4次方程式 $x^4+x^2-6=0$ を解け．

問題３【基本】
3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の3つの解を $\alpha$ ， $\beta$ ， $\gamma$ とするとき，次を $a,\ b,\ c$ で表せ．
(1) $\alpha + \beta + \gamma$
(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$
(3) $\alpha\beta\gamma$

問題４【標準】
3次方程式 $x^3+ax^2+bx+12=0$ が $1$ と $2$ を解にもつとき，定数 $a,\ b$ の値を求めよ．また，他の解を求めよ．

問題５【標準】
3次方程式 $x^3-3x^2+ax+b=0$ が $1+3\,i$ を解にもつとき，実数の定数 $a,\ b$ を求めよ．また，他の解を求めよ．

問題１【基本】

次の3次方程式を解け．
(1) $x^3- 2x^2- x + 2 = 0$
(2) $x^3+4x^2-8=0$

高次方程式の解法は，まず発見的に1つ解を見つけてくることです．その候補は定数項の正負の約数です．

解答

(1)　

係数がすべて整数で，かつ最高次である3次の係数が1ですから，この方程式が有理数解をもつとすれば，それは定数項である2の正負の約数，すなわち $\pm1,\ \pm2$ の4つです．

左辺を $P(x)$ とおくと，

$\begin{align*} P(-1)&=(-1)^3-2(-1)^2-(-1)+2\\[5pt] &=-1-2+1+2=0 \end{align*}$

従って $P(x)$ は $x+1$ を因数にもつから割り算を行って因数分解をすると，
$P(x)= (x + 1)(x^2 + 2x + 2)$

よって元の方程式は　 $(x + 1)(x^2 + 2x + 2)=0$

$x^2 + 2x + 2 = 0$ は解の公式より

$x =-1\pm\sqrt{1^2-1\cdot2}=-1\pm\sqrt{-1} =-1 \pm i$

したがって，解は $x = -1,\ -1\pm i$

答えは　 $\boxed{x = -1,\ -1\pm i}$

(2)　

係数がすべて整数で，かつ最高次である3次の係数が1ですから，この方程式が有理数解をもつとすれば，それは定数項である $-8$ の正負の約数，すなわち $\pm1$ ， $\pm2$ ， $\pm 4$ ， $\pm8$ の8つです．

左辺を $P(x)$ とおくと，