高校数学[総目次]

数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式

  スライド ノート 演習
1. 複素数      
2. 2次方程式の解と判別式      
3. 解と係数の関係      
4. 剰余の定理・因数定理      
5. 高次方程式      

5.高次方程式

演習問題

問題1【基本】
次の3次方程式を解け.
(1) x32x2x+2=0
(2) x3+4x28=0

問題2【基本】
4次方程式 x4+x26=0 を解け.

問題3【基本】
3次方程式 x3+ax2+bx+c=0 の3つの解を αβγ とするとき,次を a, b, c で表せ.
(1) α+β+γ
(2) αβ+βγ+γα
(3) αβγ

問題4【標準】
3次方程式 x3+ax2+bx+12=012 を解にもつとき,定数 a, b の値を求めよ.また,他の解を求めよ.

問題5【標準】
3次方程式 x33x2+ax+b=01+3i を解にもつとき,実数の定数 a, b を求めよ.また,他の解を求めよ.

問題1【基本】

次の3次方程式を解け.
(1) x32x2x+2=0
(2) x3+4x28=0

高次方程式の解法は,まず発見的に1つ解を見つけてくることです.その候補は定数項の正負の約数です.

解答

(1) 

係数がすべて整数で,かつ最高次である3次の係数が1ですから,この方程式が有理数解をもつとすれば,それは定数項である2の正負の約数,すなわち ±1, ±2 の4つです.

左辺を P(x) とおくと,

P(1)=(1)32(1)2(1)+2=12+1+2=0

従って P(x)x+1 を因数にもつから割り算を行って因数分解をすると,
P(x)=(x+1)(x2+2x+2)

よって元の方程式は (x+1)(x2+2x+2)=0

x2+2x+2=0 は解の公式より

x=1±1212=1±1=1±i

したがって,解は x=1, 1±i

答えは x=1, 1±i

(2) 

係数がすべて整数で,かつ最高次である3次の係数が1ですから,この方程式が有理数解をもつとすれば,それは定数項である 8 の正負の約数,すなわち ±1±2±4±8 の8つです.

左辺を P(x) とおくと,