高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第2章 複素数と方程式
| スライド | ノート | 演習 | |
| 1. 複素数 | |||
| 2. 2次方程式の解と判別式 | |||
| 3. 解と係数の関係 | |||
| 4. 剰余の定理・因数定理 | |||
| 5. 高次方程式 |
5．高次方程式
演習問題
問題１【基本】
次の3次方程式を解け．
(1) $x^3- 2x^2- x + 2 = 0$
(2) $x^3+4x^2-8=0$
問題２【基本】
4次方程式 $x^4+x^2-6=0$ を解け．
問題３【基本】
3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ の3つの解を $\alpha$，$\beta$，$\gamma$ とするとき，次を $a,\ b,\ c$ で表せ．
(1) $\alpha + \beta + \gamma$
(2) $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha$
(3) $\alpha\beta\gamma$
問題４【標準】
3次方程式 $x^3+ax^2+bx+12=0$ が $1$ と $2$ を解にもつとき，定数 $a,\ b$ の値を求めよ．また，他の解を求めよ．
問題５【標準】
3次方程式 $x^3-3x^2+ax+b=0$ が $1+3\,i$ を解にもつとき，実数の定数 $a,\ b$ を求めよ．また，他の解を求めよ．
高次方程式の解法は，まず発見的に1つ解を見つけてくることです．その候補は定数項の正負の約数です．
解答
(1)
係数がすべて整数で，かつ最高次である3次の係数が1ですから，この方程式が有理数解をもつとすれば，それは定数項である2の正負の約数，すなわち $\pm1,\ \pm2$ の4つです．
左辺を $P(x)$ とおくと，
\[\begin{align*}
P(-1)&=(-1)^3-2(-1)^2-(-1)+2\\[5pt]
&=-1-2+1+2=0
\end{align*}\]
従って $P(x)$ は $x+1$ を因数にもつから割り算を行って因数分解をすると，
\[P(x)= (x + 1)(x^2 + 2x + 2)\]
よって元の方程式は $(x + 1)(x^2 + 2x + 2)=0$
$x^2 + 2x + 2 = 0$ は解の公式より
\[x =-1\pm\sqrt{1^2-1\cdot2}=-1\pm\sqrt{-1} =-1 \pm i\]
したがって，解は $x = -1,\ -1\pm i$
答えは $\boxed{x = -1,\ -1\pm i}$
(2)
係数がすべて整数で，かつ最高次である3次の係数が1ですから，この方程式が有理数解をもつとすれば，それは定数項である $-8$ の正負の約数，すなわち $\pm1$，$\pm2$，$\pm 4$，$\pm8$ の8つです．
左辺を $P(x)$ とおくと，