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1.1 数列の極限

無限数列:項が無限に続く数列($\longleftrightarrow$ 有限数列) \[ a_1,\ a_2,\ a_3,\ \cdots ,\ a_n,\ \cdots \]

1.2 収束と発散

 無限数列$\{a_n\}$について,$n$を限りなく大きくすると,$a_n$が一定の値$\alpha$に限りなく近付くとき, \[ \lim_{n\to\infty} a_n=\alpha \ \ \cdots(*)\] で表し,このとき数列$\{a_n\}$は,$\alpha$に収束するという.  また,$\alpha$を数列$\{a_n\}$の極限値という.  一方,収束しないとき,数列$\{a_n\}$は,発散するという.

補足

 $(*)$は「$n\to\infty$のとき,$a_n\to\alpha$」または,「$a_n\to\alpha\ (n\to\infty)$」とも書く.

収束する例

  1. $a_n=\dfrac 1n$のとき,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=0.}$
  2. $a_n=\dfrac n{2n+1}$のとき,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\dfrac 1{2+\frac 1n}=\dfrac 12.}$

収束しない例

  1. 正の無限大に発散する.(極限は$\infty$) $a_n=n,\ a_n=n^2,\ a_n=\log_2n$ これらは$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$
  2. 負の無限大に発散する.(極限は$-\infty$) $a_n=-n,\ a_n=-5n+7,\ a_n=-3^n$ これらは$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=-\infty}$
  3. 振動する. \begin{align*} &a_n=(-1)^n\ :\ \{-1,\ 1,\ -1,\ 1,\ \cdots\}\\ &a_n=\sin\dfrac \pi 2n\ :\ \{1,\ 0,\ -1,\ 0,\ 1,\ \cdots\} \end{align*}

注意

 「$\infty$」や「$-\infty$」は値ではない.よって,例えば$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$のとき, × 数列$\{a_n\}$の極限値は$\infty$. 〇 数列$\{a_n\}$の極限は$\infty$.

1.2 極限の性質

極限の性質 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束し,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha},\ $$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$ のとき,
 ① $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}ka_n=k\alpha$ ($k$は定数)
 ② $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(a_n\pm
b_n)=\alpha\pm\beta$ (複号同順)
 ③ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}(ka_n+lb_n)=k\alpha+l\beta$ ($k,\ l$は定数)
 ④ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}a_nb_n=\alpha\beta$
 ⑤ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}}\dfrac{a_n}{b_n}=\dfrac \alpha\beta$ ($\beta\neq0$)

注意

 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$がともに収束しなければ,これらの性質は必ずしも成り立たない.例えば④について, [次の例はいずれも$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\ \lim_{n\to\infty}b_n=0}$]
 1. $a_n=n^2,\ b_n=\dfrac 1n$のとき,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}n=\infty}$
 2. $a_n=n,\ b_n=\dfrac 1n$のとき,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}1=1}$
 3. $a_n=n^2,\ b_n=-\dfrac 1n$のとき,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\lim_{n\to\infty}(-n)=-\infty}$
となって,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_nb_n}$は$\{a_n\},\ \{b_n\}$がどういう数列かによって変わる.(下の不定形の極限も参照.)

1.3 発散する無限数列を含む極限

すべて複号同順.
 ① $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき, \[\lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=\pm\infty\]  ② $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\pm\infty}$ のとき, \[\lim_{n\to\infty}a_nb_n=\infty\]  ③ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty} a_n=\pm\infty,\ \lim_{n\to\infty} b_n=\mp\infty}$ のとき, \[\lim_{n\to\infty}a_nb_n=-\infty\]  ④ $k>0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$のとき, \[\lim_{n\to\infty}k a_n=\pm\infty\]  ⑤ $k<0,\ \displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$のとき, \[\lim_{n\to\infty}k a_n=\mp\infty\]  ⑥ $c$が定数,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n=\pm\infty$のとき, \[\lim_{n\to\infty}\frac c{a_n}=0,\ \lim_{n\to\infty}(a_n+c)=\pm\infty\]

 これらは次のように簡略に書くと見易くなる:

 ① $(\pm\infty)\!+\!(\pm\infty)\!=\!(\pm\infty)$
 ② $(\pm\infty)\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\infty$
 ③ $(\pm\infty)\!\times\!(\mp\infty)\!=\!-\infty$
 ④ $k\!>\!0\mbox{のとき,}k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\pm\infty$
 ⑤ $k\!<\!0\mbox{のとき,}k\!\times\!(\pm\infty)\!=\!\mp\infty$
 ⑥ $c\mbox{が定数のとき,}\dfrac c{\pm\infty}\!=\!0,$ $ (\pm\infty)\!+\!c\!=\!(\pm\infty)$

注意

 簡略表記でいうところの$\dfrac\infty\infty$や$\dfrac 00$,また$\infty\cdot 0,\ \infty -\infty$などは不定形の極限といわれ,収束するか発散するかは個々の数列による.($\dfrac \infty\infty=1$ や $\infty-\infty=0$ には必ずしもならない.)

例1

 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\dfrac{n-1}{2n+1}=\lim_{n\to\infty}\dfrac{1-\dfrac 1n}{2+\dfrac 1n}=\dfrac 12}$

例2

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}\left(\sqrt{n^2+n}-n\right)\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac{(n^2+n)-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac n{\sqrt{n^2+n}+n}\\ =&\lim_{n\to\infty}\frac 1{\sqrt{1+1/n}+1}\\ =&\frac 12 \end{align*}\]

1.4 数列の極限の大小関係

 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束し,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n\to\infty}b_n=\beta}$のとき,
 ① $a_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$ならば,$\alpha\leqq \beta$
 ② $a_n\leqq c_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$,かつ$\alpha=\beta$ならば,$\{c_n\}$も収束して,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}c_n=\alpha}$ (はさみうちの原理

Q. $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac {\sin n\pi}n}$は?

A. $-1\leqq \sin n\pi\leqq 1$により,$-\dfrac 1n\leqq \dfrac{\sin n\pi}n\leqq \dfrac 1n$.
 ここで,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}$$\left(-\dfrac 1n\right)=0$,かつ$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac 1n=0}$により,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\frac{\sin n\pi}n=0}$.

注意

 ①に関連して,「$a_n<b_n$ならば$\alpha<\beta$」は正しくない.
反例
 $a_n=\dfrac 1n,\ b_n=\dfrac 2n$とすると,$a_n<b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$. しかるに$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=0,\ \lim_{n\to\infty}b_n=0}$となって,$\alpha=\beta$.

 次の定理も重要:

$a_n\leqq b_n\ (n=1,\ 2,\ \cdots)$,かつ$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\infty}$ならば,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}b_n=\infty}$ (追い出しの原理