7. 関数の連続性(ノート)
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数学Ⅲ　第1章　極限

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7.1　関数が連続であるための条件

　関数 $f(x)$ が $x=a$ で連続であるということは，次の3つが満たされているときをいう：
　①　$x=a$ は $f(x)$ の定義域に属する．
　　（ $f(a)$ が定義されている．）
　②　極限値 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在する．
　③　$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ である．

例1

　$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(x=0\ \mbox{のとき})\\ x^2+1&(x\neq 0\ \mbox{のとき}) \end{array}\right.$ について，$x=0$ での連続性を調べよ．

　①　$f(0)=0$ である．
　②　$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}(x^2+1)=1$
　③　$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\ne f(0)$
　よって，$f(x)$は$x=0$ で連続でない．

例2

　$f(x)=x^2$ について，$x=0$ での連続性を調べよ．

　①　$f(0)=0$ である．
　②　$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2=0$
　③　$\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)= f(0)$
　よって，$f(x)$ は $x=0$ で連続である．

補足

　①を満たし，②，③のいずれか一方でも満たさない場合に，$f(x)$ は $x=a$ で不連続であるという．
　従って例えば「関数 $\dfrac 1x$ は，$x=0$ で不連続である」とは言わない．（$\dfrac 1x$ は $x=0$ で定義されていないから①を満たさない．）

7.2　連続性の性質

　関数 $f(x),\ g(x)$ が $x=a$ で連続のとき，次の関数も $x=a$ で連続である：
　[1]　$kf(x)+lg(x)$　　（ $k,\ l$ は定数）
　[2]　$f(x)g(x)$
　[3]　$\dfrac{f(x)}{g(x)}$　　（ただし $g(a)\neq 0$ ）

7.3　連続関数

関数 $f(x)$ が，定義域のすべての $x$ で連続のとき，$f(x)$ は連続関数であるという．

補足

①　例えば関数 $\dfrac 1x$ は連続関数である．「$x=0$ で不連続なのでは？？」…さにあらず．先に述べたように，関数の連続性は定義域内の各値でのもので，$x=0$ は関数 $\dfrac 1x$の定義域外の値であるから，そもそも連続性に関する議論の対象にならない．
②　関数 $x$ は連続関数であるから帰納的に $x^n$ （ $n$ は自然数）は連続関数である（$\because$ 連続性の性質[2]）．従って $x$ の整式 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ も連続関数である（$\because$ 連続性の性質[1]）．
　一般に有理関数（整式 $+$ 分数式）は連続関数である（$\because$ 連続性の性質[3]）．

7.4　区間で連続

　関数 $f(x)$ がある区間のすべての $x$ で連続のとき，$f(x)$ はその区間で連続であるという．
　関数 $f(x)$ が「閉区間 $[a,\ b]$ で連続」とは
①　開区間 $(a,\ b)$ で連続
②　$\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)\\ \displaystyle\lim_{x\to b-0}f(x)=f(b) \end{array}\right.$
の2つが成立するときをいう．

7.5　連続関数の最大値・最小値の定理

　閉区間で連続な関数には次の定理が成り立つ：

最大値・最小値の定理 　関数 $f(x)$ が閉区間で連続ならば，$f(x)$ はその区間で最大値と最小値をもつ．

仮定の検証

• 閉区間
  もし（半）開区間ならば，例えば関数 $\tan x$　 $\left(-\dfrac \pi 2<x<\dfrac\pi 2\right)$ などの反例がある．(最大値も最小値もない．)
• 連続性
  もし $f(x)$ が閉区間で連続でないなら，例えば閉区間$[0,1]$における関数 $x-[x]$ などの反例がある．（最大値がない．)

7.6　中間値の定理

中間値の定理　関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)\neq f(b)$ ならば，$f(a)$ と $f(b)$ の間の任意の $k$ に対して \[f(c)=k,\ \ a<c<b\] となる $c$ が少なくとも1つ存在する．

　この中間値の定理により，次の定理が導かれる：

定理　関数 $f(x)$ が閉区間 $[a,b]$ で連続で，$f(a)$ と $f(b)$ が異符号ならば，方程式 $f(x)=0$ は $a$ と $b$ の間に少なくとも1つの解をもつ．

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