このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

7.1 関数が連続であるための条件

 関数 $f(x)$ が $\underline{x=a\mbox{で}}$ 連続であるということは,次の3つが満たされているときをいう:
 ① $x=a$ は $f(x)$ の定義域に属する.
  ($f(a)$ が定義されている.)
 ② 極限値 $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)$ が存在する.
 ③ $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$ である.

例1

 $f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 0&(x=0\mbox{のとき})\\ x^2+1&(x\neq 0\mbox{のとき}) \end{array}\right.$について,$x=0$での連続性を調べよ.

 ① $f(0)=0$である.
 ② $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}(x^2+1)=1$
 ③ $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)\ne f(0)$
 よって,$f(x)$は$x=0$で連続でない.

例2

 $f(x)=x^2$について,$x=0$での連続性を調べよ.

 ① $f(0)=0$である.
 ② $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}x^2=0$
 ③ $\displaystyle\lim_{x\to0}f(x)= f(0)$
 よって,$f(x)$は$x=0$で連続である.

補足

 ①を満たし,②,③のいずれか一方でも満たさない場合に,$f(x)$ は $x=a$ で不連続であるという.
 従って例えば「関数 $\dfrac 1x$ は,$x=0$ で不連続である」とは言わない.($\dfrac 1x$ は $x=0$ で定義されていないから①を満たさない.)

7.2 連続性の性質

 関数 $f(x),\ g(x)$ が $x=a$ で連続のとき,次の関数も $x=a$ で連続である:
 [1] $kf(x)+lg(x)$  ($k,\ l$ は定数)
 [2] $f(x)g(x)$
 [3] $\dfrac{f(x)}{g(x)}$  (ただし $g(a)\neq 0$)

7.3 連続関数

関数 $f(x)$ が,定義域のすべての $x$ で連続のとき,$f(x)$ は連続関数であるという.

補足

① 例えば関数 $\dfrac 1x$ は連続関数である.「$x=0$ で不連続なのでは??」…さにあらず.先に述べたように,関数の連続性は定義域内の各値でのもので,$x=0$ は関数 $\dfrac 1x$の定義域外の値であるから,そもそも連続性に関する議論の対象にならない.
② 関数 $x$ は連続関数であるから帰納的に $x^n$ ($n$は自然数)は連続関数である($\because$ 連続性の性質[2]).従って $x$ の整式 $a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_n$ も連続関数である($\because$ 連続性の性質[1]).
 一般に有理関数(整式 $+$ 分数式)は連続関数である($\because$ 連続性の性質[3]).

7.4 区間で連続

 関数 $f(x)$ がある区間のすべての $x$ で連続のとき,$f(x)$ はその区間で連続であるという.
 関数 $f(x)$ が「閉区間 $[a,\ b]$ で連続」とは
① 開区間 $(a,\ b)$ で連続
② $\left\{\begin{array}{cc} \displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=f(a)\\ \displaystyle\lim_{x\to b-0}f(x)=f(b) \end{array}\right.$
の2つが成立するときをいう.

7.5 連続関数の最大値・最小値の定理

 閉区間で連続な関数には次の定理が成り立つ:

最大値・最小値の定理  関数 $f(x)$ が閉区間連続ならば,$f(x)$ はその区間で最大値と最小値をもつ.

仮定の検証
  • 閉区間
    もし(半)開区間ならば,例えば関数 $\tan x$  $\left(-\dfrac \pi 2<x<\dfrac\pi 2\right)$ などの反例がある.(最大値も最小値もない.)
  • 連続性
    もし $f(x)$ が閉区間で連続でないなら,例えば閉区間$[0,1]$における関数 $x-[x]$ などの反例がある.(最大値がない.)