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高校数学ノート

数学Ⅲ 第1章 極限

1. 数列の極限 無料     【ノート
2. 無限等比数列  無料    【ノート
3. 無限級数           【ノート
4. 無限等比級数         【ノート
5. 関数の極限          【ノート
6. (sin x)/x の極限        【ノート
7. 関数の連続性          【ノート

2.1 $r^n$ の極限

 初項 $1$,公比 $r$ の無限等比数列 \[ 1,\ r,\ r^2,\ \cdots ,\ r^{n-1},\ \cdots \] の極限を考える.

  1. $r>1$ のとき
     $r=1+h\ (h>0)$ とおくと \[\begin{align*} r^n&=(1+h)^n\\ &=\displaystyle{\sum_{k=0}^n {_n\rm{C}}_k\, h^k}\ \ (\because\mbox{二項定理})\\ &=1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2+\cdots +h^n\\ &>nh\ \ (\because h>0). \end{align*}\]  ここで,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}nh=\infty}$($\because\ h$ は正の定数)であるから,追い出しの原理により,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}r^n=\infty}$.
  2. $r=1$ のとき
     $r^n$ は常に1であるから, \[\lim_{n\to\infty}r^n=1.\]
  3. $|r|<1$ のとき
    i) $r=0$ のとき,$r^n=0$ により, \[\lim_{n\to\infty}r^n=0.\] ii) $r\neq 0$ のとき,$\left|\dfrac 1r\right|>1$ により $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac 1r\right|^n=\infty}$.($\because$ 上の1.)
     故に, \[\lim_{n\to\infty}\frac 1{\left|\frac 1r\right|^n}=0\ \ \therefore \lim_{n\to\infty}|r|^n=0.\ \ \cdots\ \mbox{①}\]  一方,$-|r|^n\leqq r^n\leqq |r|^n$ で,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\{-|r|^n\}=0}$($\because$ ①)であるから,はさみうちの原理により, \[\lim_{n\to\infty}r^n=0.\]  i),ii)から,$\displaystyle{\lim_{n\to\infty}r^n=0}$.
  4. $r\leqq -1$ のとき
    i) $r=-1$ のとき,$\{r^n\}$ は振動する.
    ii) $r<-1$ のとき,$-r=R$ とおくと,$R>1$ により \[\lim_{n\to\infty}R^n=\infty\ \ (\because\mbox{上の}1.)\] であるが,$r^n=(-1)^nR^n$ により,$\{r^n\}$ は符号を交互に変える.
     従ってこのときも振動する.

まとめ
 無限等比数列$\{r^n\}$ について \[ \lim_{n\to\infty}r^n=\left\{ \begin{array}{ll} \infty & (r>1\ \mbox{のとき})\\ 1 &  (r=1\ \mbox{のとき})\\ 0 &  (|r|<1\ \mbox{のとき}) \end{array}\right.\]  $r\leqq -1$ のとき,$\{r^n\}$ は振動する.

\[\begin{align*} &\lim_{n\to\infty}1.001^n=\infty\\[5pt] &\lim_{n\to\infty}0.999^n=0\\[5pt] &\lim_{n\to\infty}(-0.5)^n=0 \end{align*}\]

 上のまとめにより,次の命題が成り立つ:

\[ \lim_{n\to\infty}r^n\ \mbox{が収束する} \iff -1<r\leqq 1\]  特に \[ \lim_{n\to\infty}r^n=0 \iff |r|<1\ (\iff -1<r<1) \]

Q. $a_n=(x^2+x-1)^n$ が収束する $x$ の値の範囲は?

A. $-1<x^2+x-1\leqq 1$ により
 前半:$x^2+x>0$ $\therefore x<-1,\ 0<x\ \cdots$①
 後半:$x^2+x-2\leqq 0$ $\therefore -2\leqq x\leqq 1\ \cdots$②
 ①,②により,$-2\leqq x< -1,\ 0<x\leqq 1$

2.2 初項と漸化式で定められる数列

Q. $a_1=2,\ a_{n+1}=\dfrac 12a_n+3$ のとき,数列$\{a_n\}$ の極限は?

A. 一般項は,$a_n=-4\left(\dfrac 12\right)^{n-1}+6$ となるから, \[\lim_{n\to\infty}a_n=6.\]

補足1

 $y=\dfrac 12 x+3$ と $y=x$ のグラフを考える:

 図のように,$a_{n+1}=\dfrac 12 a_n+3$ の極限値は,(もし存在すれば)2直線 $y=\dfrac 12 x+3$ と $y=x$ の交点の $x$ 座標を求める方程式 \[x=\frac 12 x+3 \] の解6である.

注意

$\{a_n\}$ が収束しないなら,交点が存在しても,その交点の $x$ 座標は当然 $\{a_n\}$ の極限値ではない.

 $a_1=\dfrac 34,\ a_{n+1}=2a_n-1$ の極限を求めよ.

 $x=2x-1,\ \therefore x=1$
 $a_n=-\dfrac 14\cdot 2^{n-1}+1\to -\infty\ (n\to\infty)$

補足

 $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}a_n=\alpha}$ とすれば,漸化式の両辺を $n\to\infty$ として

$\alpha=\dfrac 12\alpha+3.$(これを特性方程式という)

 よって,$\alpha=6$.

2.3 数列 $\left\{\frac {r^n}n\right\}\ (r>1)$ の極限

 $r=1+h\ (h>0)$ とおくと,十分大きな $n$ について \[\begin{align*} r^n&=(1+h)^n\\ &=\displaystyle{\sum_{k=0}^n {_n\rm{C}}_k\, h^k}\ \ (\because\mbox{二項定理})\\ &=1+nh+\frac{n(n-1)}2h^2+\cdots +h^n\\ &>\frac {n(n-1)}2h^2\ \ (\because h>0) \end{align*}\]  よって,$\dfrac{r^n}n>\dfrac{n-1}2h^2$.
 ここで,$n\to\infty$ のとき,(右辺) $\to\infty$ となるから \[\lim_{n\to\infty}\frac{r^n}n=\infty\]

補足

 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac {r^n}n$ は $\dfrac\infty\infty$ の形であるが,$n$ が大きくなるにつれ,数列$\{r^n\}$ の方が,数列$\{n\}$ よりも急激に大きくなることを意味する.


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