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4.1 無限等比級数の収束と発散

\[a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}+\cdots \ \cdots \mbox{①}\]を初項$a$,公比 $r$ の無限等比級数という.

 ①の第$n$項までの部分和を $S_n$ とし,無限等比級数 $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=\lim_{n\to\infty}S_n$ を調べる.

$\underline{a=0\mbox{のとき}}$ \[ S_n=0+0+\cdots+0=0\ \to\ 0\ (n\to\infty) \] $\underline{a\neq0\mbox{のとき}}$
 i) $|r|<1$のとき
   $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}\to\dfrac a{1-r}\ (n\to\infty)$
   よって,数列$\{S_n\}$ は収束.
 ii) $r=1$のとき
\[ S_n=a+a+\cdots +a=na. \]  よって,$n\to\infty$のとき,$\{S_n\}$は発散.
 iii) $r\leqq -1,\ 1<r$ のとき
   $S_n=\dfrac{a(1-r^n)}{1-r}$ で,$r^n$ が発散するから$\{S_n\}$ は発散.

まとめ  無限等比級数$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty ar^{n-1}=a+ar+ar^2+\cdots$(ただし,$a\neq 0$)は
  $|r|<1$のとき収束して,和は$\dfrac a{1-r}$.
  $|r|\geqq 1$のとき,発散.

4.2 無限等比級数と循環小数

Q. $0.1\dot{2}\dot{3}=0.1232323\cdots$を分数で表すと?
A. \[\begin{align*} 0.1\dot{2}\dot{3}&=0.1+0.023+0.00023+0.0000023+\cdots\\ &=\frac 1{10}+\underline{\frac{23}{10^3}+\frac{23}{10^5}+\frac{23}{10^7}+\cdots}\\ &=\frac 1{10}+\frac{\frac{23}{10^3}}{1-\frac 1{10^2}}\\ &=\frac 1{10}+\frac{23}{990}=\frac {122}{990}=\frac{61}{495} \end{align*}\] ※下線部分が,初項$\dfrac{23}{10^3}$,公比$\dfrac 1{10^2}$の無限等比級数になっている.

補足

\[\begin{array}{rl} x&=\ \ 0.1232323\cdots\\ -)\ \ 100x&=12.3232323\cdots\\ \hline -99x&=-12.2 \end{array}\] \[\therefore\ x=\frac{12.2}{99}=\frac{61}{495}. \]