(sin x)/xの極限

高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

	スライド	ノート	問題
1. 数列の極限	[無料]
2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
5. 関数の極限
6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性

6.1 (sin x)/x の極限

重要 \[ \lim_{x\to 0}\frac {\sin x}x=1 \]

注意

　角度は弧度法(ラジアン)を用いる．

証明

　$x\to 0$ のときを考えるから，$0< |x| <\dfrac \pi 2$ としてよい．
[1]　$0<x<\dfrac \pi 2$ のとき

　図において

$\triangle\rm OAB<$ 扇形 $\rm{OAB<\triangle OAC}$

　式で表して

\[\dfrac 12\cdot 1^2\cdot\sin x<\dfrac 12\cdot 1^2\cdot x<\dfrac 12\cdot 1\cdot\tan x\]

　計算して

\[\sin x<x<\tan x\]

　各辺を $\sin x\ (>0)$ で割ると，

\[1<\frac x{\sin x}< \frac 1{\cos x}\]

　逆数をとって

\[1>\frac{\sin x}x>\cos x\]

　$\displaystyle\lim_{x\to +0}\cos x=1$ であるから，はさみうちの原理により，

\[\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{\sin x}x=1\]

[2]　$-\dfrac\pi 2<x<0$ のとき

　$x=-\theta$ とおくと， $x\to -0$ のとき，$\theta\to +0$ であるから，

\[\begin{align*} \lim_{x\to -0}\frac{\sin x}x&=\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}\\[5pt] &=\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin\theta}\theta=1\ \ \ (\because [1]) \end{align*}\]

　[1]，[2] から，$\displaystyle\lim_{x\to +0}\dfrac{\sin x}x=\lim_{x\to -0}\dfrac{\sin x}x=1$ となるから，

\[\lim_{x\to 0}\dfrac{\sin x}x=1\]

■

補足

①　$x\to 0$ のとき，☆$\to 0$ ならば，

\[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin\mbox{☆}}{\mbox{☆}}=1 \]

　例　$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}x=\lim_{x\to 0}\left(5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}\right)=5\cdot 1=5.$

②　$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac 1{\ \dfrac{\sin x}x\ }=\frac 11=1$ により，

\[ \lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}=1.\]

　も成り立つ．

③　三角関数と多項式が同時に含まれた式の極限をとるとき，簡単にその極限がわからない場合，この $\dfrac{\sin x}x$ の極限が一枚かんでいることが多い．

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