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6.1 (sin x)/xの極限

重要 \[ \lim_{x\to 0}\frac {\sin x}x=1 \]

注意

 角度は弧度法(ラジアン)を用いる.

証明

 $x\to 0$ のときを考えるから,$0< |x| <\dfrac \pi 2$ としてよい.
[1] $0<x<\dfrac \pi 2$ のとき

 図において, \[\begin{gather*} \mbox{△OAB}<\mbox{扇形OAB}<\mbox{△OAC}\\ \therefore\ \ \frac 12\cdot 1^2\sin x<\frac 12\cdot 1^2x<\frac 12\cdot 1\tan x\\ \therefore\ \ \sin x<x<\tan x \end{gather*}\]  各辺を $\sin x(>0)$ で割ると, \[\begin{align*} &1<\frac x{\sin x}< \frac 1{\cos x}\\ \therefore\ \ &1>\frac{\sin x}x>\cos x\ \ \ (\mbox{逆数をとった}) \end{align*}\]  $\displaystyle\lim_{x\to +0}\cos x=1$ であるから,はさみうちの原理により,$\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{\sin x}x=1.$

[2] $-\dfrac\pi 2<x<0$ のとき
$x=-\theta$ とおくと,$x\to -0$ のとき $\theta\to +0$であるから, \[\begin{align*} \lim_{x\to -0}\frac{\sin x}x&=\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin (-\theta)}{-\theta}\\ &=\lim_{\theta\to +0}\frac{\sin\theta}\theta=1. \ (\because [1]) \end{align*}\]  [1],[2] から $\displaystyle\lim_{x\to +0}\frac{\sin x}x=\lim_{x\to -0}\frac{\sin x}x=1$となるから,$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x=1.$

補足

① $x\to 0$ のとき,☆$\to 0$ならば, \[ \lim_{x\to 0}\frac{\sin\mbox{☆}}{\mbox{☆}}=1 \]    $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin 5x}x=\lim_{x\to 0}5\cdot\frac{\sin 5x}{5x}=5\cdot 1=5.$
② $\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac 1{\frac{\sin x}x}=\frac 11=1$ により, \[ \lim_{x\to 0}\frac x{\sin x}=1. \] ③ 三角関数と多項式が同時に含まれた式の極限をとるとき,簡単にその極限がわからない場合の多くで,この $\dfrac{\sin x}x$ の極限が一枚かんでいることが多い.