高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
| スライド | ノート | |
| 1. 微分係数と導関数 | [無料] | |
| 2. 合成関数の導関数 | [無料] | |
| 3. 逆関数の微分法 | [無料] | |
| 4. 三角関数の導関数 | [会員] | |
| 5. 対数関数・指数関数の導関数 | [会員] | |
| 6. 媒介変数表示と導関数 | [会員] | |
| 7. 陰関数の導関数 | [会員] | |
| 8. 平均値の定理 | [会員] | |
| 9. 関数の値の変化 | [会員] | |
| 10. 関数の極大・極小 | [会員] | |
| 11. 関数のグラフ | [会員] |
8．平均値の定理
8.1 平均値の定理
平均値の定理 関数 $f(x)$ が，閉区間 $[a,\ b]$ で連続，開区間 $(a,\ b)$ で微分可能であるとき， \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ \ a<c<b \] を満たす $c$ が存在する．
補足
$\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ を変形して， \[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\] となるが，これにより $f(b)-f(a)$ から $b-a$ を取り出すことができる．
8.2 平均値の定理の不等式への応用
例題 $0<a<b$ のとき，$\dfrac 1b < \dfrac{\log b-\log a}{b-a} < \dfrac 1a$ を示せ．
$f(x)=\log x$ とおくと，$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続，開区間 $(a,b)$ で微分可能であるから，平均値の定理により， \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ a<c<b\] を満たす $c$ が存在する．$f'(x)=\dfrac1x$ で，$0\! < \! a \! < \! b$ により $\dfrac1b < \dfrac1c < \dfrac1a$ だから， \[\frac1b<f'(c) < \frac1a\] \[\therefore \frac1b < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < \frac1a\]
■
このページで疑問は解決されましたか？
こちらから数学に関するご質問・ご要望をお寄せください。
高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
| スライド | ノート | |
| 1. 微分係数と導関数 | [無料] | |
| 2. 合成関数の導関数 | [無料] | |
| 3. 逆関数の微分法 | [無料] | |
| 4. 三角関数の導関数 | [会員] | |
| 5. 対数関数・指数関数の導関数 | [会員] | |
| 6. 媒介変数表示と導関数 | [会員] | |
| 7. 陰関数の導関数 | [会員] | |
| 8. 平均値の定理 | [会員] | |
| 9. 関数の値の変化 | [会員] | |
| 10. 関数の極大・極小 | [会員] | |
| 11. 関数のグラフ | [会員] |