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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

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8.平均値の定理

8.1 平均値の定理

平均値の定理 関数 $f(x)$ が,閉区間 $[a,\ b]$ で連続,開区間 $(a,\ b)$ で微分可能であるとき, \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ \ a<c<b \] を満たす $c$ が存在する.

補足

 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ を変形して, \[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\] となるが,これにより $f(b)-f(a)$ から $b-a$ を取り出すことができる.

8.2 平均値の定理の不等式への応用

例題 $0<a<b$ のとき,$\dfrac 1b < \dfrac{\log b-\log a}{b-a} < \dfrac 1a$ を示せ.

 $f(x)=\log x$ とおくと,$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であるから,平均値の定理により, \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ a<c<b\] を満たす $c$ が存在する.$f'(x)=\dfrac1x$ で,$0\! < \! a \! < \! b$ により $\dfrac1b < \dfrac1c < \dfrac1a$ だから, \[\frac1b<f'(c) < \frac1a\] \[\therefore \frac1b < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < \frac1a\]


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