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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

8.平均値の定理

8.1 平均値の定理

平均値の定理 関数 $f(x)$ が,閉区間 $[a,\ b]$ で連続,開区間 $(a,\ b)$ で微分可能であるとき, \[ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ \ a<c<b \] を満たす $c$ が存在する.

補足

 $\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c)$ を変形して, \[f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)\] となるが,これにより $f(b)-f(a)$ から $b-a$ を取り出すことができる.

8.2 平均値の定理の不等式への応用

 $0<a<b$ のとき,$\dfrac 1b < \dfrac{\log b-\log a}{b-a} < \dfrac 1a$ を示せ.

 $f(x)=\log x$ とおくと,$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であるから,平均値の定理により, \[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c),\ a<c<b\] を満たす $c$ が存在する.$f'(x)=\dfrac1x$ で,$0\! < \! a \! < \! b$ により $\dfrac1b < \dfrac1c < \dfrac1a$ だから, \[\frac1b<f'(c) < \frac1a\] \[\therefore \frac1b < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < \frac1a\]


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