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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

6.媒介変数表示と導関数

6.1 媒介変数表示と導関数

 曲線上の点 $(x,y)$ が媒介変数(パラメータ) $t$ を用いて \[\left\{\begin{array}{l} x=f(t)\\ y=g(t) \end{array}\right.\ (\alpha\leqq t\leqq\beta)\] のように表されているとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\ (\because\mbox{合成関数の導関数})\\ &=\frac{dy}{dt}\cdot\frac1{\frac{dx}{dt}}\ (\because\mbox{逆関数の導関数})\\ &=\frac{dy/dt}{dx/dt}\\ &=\frac{g'(t)}{f'(t)} \end{align*}\]

$x=f(t),\ y=g(t)$ のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \]

 $x$ の関数 $y$ が,$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\y=t^2\end{array}\right.$ で表されるとき,$x=3$ における微分係数は?

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}1=2t\ \bigl[=2(x-1)\bigr]\]  $x=3$ のとき,$t=2$ であるから, \[\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2\cdot2=\underline{4}\]


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数学Ⅲ 第2章 微分法

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2.合成関数の導関数  無料    【ノート
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