このページにある内容は,こちらのスライドでわかり易く説明しています.

6.1 媒介変数表示と導関数

 曲線上の点$(x,y)$が媒介変数(パラメータ) $t$ を用いて \[\left\{\begin{array}{l} x=f(t)\\ y=g(t) \end{array}\right.\ (\alpha\leqq t\leqq\beta)\] のように表されているとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\ (\because\mbox{合成関数の導関数})\\ &=\frac{dy}{dt}\cdot\frac1{\frac{dx}{dt}}\ (\because\mbox{逆関数の導関数})\\ &=\frac{dy/dt}{dx/dt}\\ &=\frac{g'(t)}{f'(t)} \end{align*}\]

$x=f(t),\ y=g(t)$のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \]

 $x$ の関数 $y$ が,$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\y=t^2\end{array}\right.$ で表されるとき,$x=3$ における微分係数は?

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}1=2t\ \bigl[=2(x-1)\bigr]\]  $x=3$のとき,$t=2$であるから, \[\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2\cdot2=\underline{4}\]