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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

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6.媒介変数表示と導関数

6.1 媒介変数表示と導関数

 曲線上の点 $(x,y)$ が媒介変数(パラメータ) $t$ を用いて \[\left\{\begin{array}{l} x=f(t)\\ y=g(t) \end{array}\right.\ (\alpha\leqq t\leqq\beta)\] のように表されているとき, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{dt}\cdot\frac{dt}{dx}\ (\because\mbox{合成関数の導関数})\\ &=\frac{dy}{dt}\cdot\frac1{\frac{dx}{dt}}\ (\because\mbox{逆関数の導関数})\\ &=\frac{dy/dt}{dx/dt}\\ &=\frac{g'(t)}{f'(t)} \end{align*}\]

$x=f(t),\ y=g(t)$ のとき, \[ \frac{dy}{dx}=\frac{g'(t)}{f'(t)} \]

例題 $x$ の関数 $y$ が,$\left\{\begin{array}{l}x=t+1\\y=t^2\end{array}\right.$ で表されるとき,$x=3$ における微分係数を求めよ.

\[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{2t}1=2t\ \bigl[=2(x-1)\bigr]\]  $x=3$ のとき,$t=2$ であるから, \[\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=3}=2\cdot2=\underline{4}\]


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