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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

1.微分係数と導関数

1.1 微分係数

 $a$ を固定し,$x\to a$ としたとき,平均変化率 $\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdots$① が極限値をもつとき,$f(x)$ は $x=a$ で微分可能であるという.また,①を $f'(a)$ で表す:

\[ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\]

補足

上の $x$ の代わりに $a+h$ とすれば, \[\frac{f(x)-f(a)}{x–a}=\frac{f(a+h)-f(a)}h\] と書くことができる.(分母が $h$ だけの方が,約分に気付きやすいことがある.)

\[ f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}h \]

 $f(x)=x^3$ のとき,$f'(1)$ は?

その1
 $\displaystyle f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)(x^2+x+1)}{x-1}$ $\displaystyle =\lim_{x\to1}(x^2+x+1)=3$

その2
 $\displaystyle f'(1)=\lim_{h\to 0}\frac{(1+h)^3-1^3}h=\lim_{h\to 0}\frac{h(3+3h+h^2)}h$ $\displaystyle =\lim_{h\to 0}(3+3h+h^2)=3$

定理 \[f(x)\mbox{が}x=a\mbox{で微分可能}\Rightarrow f(x)\mbox{は}x=a\mbox{で連続}\]

証明

\[\begin{align*} \lim_{x\to a}\{f(x)-f(a)\}&=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\cdot(x-a)\\ &=f'(a)\cdot0\\ &=0 \end{align*}\]

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.反例として,$f(x)=|x|$ は $x=0$ で連続だが,$x=0$ で微分可能ではない.

1.2 導関数

 関数 $y=f(x)$ がある区間内の任意の $x$ で微分可能であるとき, \[\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}h\] を $f(x)$ の導関数といい, \[f'(x),\ y’\ ,\frac{dy}{dx},\ \frac d{dx}f(x)\] などで表す.また,$f(x)$ の導関数を求めることを「 $f(x)$ を微分する」という.

1.3 導関数の性質

導関数の性質 \begin{align*}&[1]\ \ \{kf(x)\}’=kf'(x)\ \ (k\mbox{は定数})\\\\ &[2]\ \ \{f(x)+g(x)\}’=f'(x)+g'(x)\end{align*}

1.4 積の導関数

積の導関数\[ \{f(x)g(x)\}’=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) \]

証明

 $F(x)=f(x)g(x)$ とおいて,$F'(x)=\displaystyle{\lim_{h\to0}}\dfrac{F(x+h)-F(x)}h$ を計算する. \[\begin{align*} &F(x+h)-F(x)\\ =&f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)\\ =&\{f(x+h)-f(x)\}g(x+h)+f(x)\{g(x+h)-g(x)\} \end{align*}\] であるから, \[\begin{align*} &\frac{F(x+h)-F(x)}h\\ =&\frac{f(x+h)-f(x)}hg(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}h\\ \to &\ f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\ \ (h\to0) \end{align*}\]

$y=(x^2+1)(x^2-3x+2)$ のとき, \[\begin{align*} y’&=2x(x^2-3x+2)+(x^2+1)(2x-3)\\ &=4x^3-9x^2+6x-3 \end{align*}\]

公式  $n$ が自然数のとき, \[(x^n)’=nx^{n-1} \]

証明

 $(x^n)’=nx^{n-1}\cdots$①を帰納法で示す.
$n=1$ のとき,①の両辺は共に1となり成立.
$n=k$ のとき,①の成立を仮定すると,$n=k+1$ のとき, \[\begin{align*} \mbox{①の左辺}&=(x^{k+1})’\\ &=(x^k\times x)’\\ &=(x^k)’\cdot x+x^k\cdot(x)’\ \leftarrow\mbox{積の導関数}\\ &=\underline{kx^{k-1}}\cdot x+x^k\cdot1\ \leftarrow\mbox{帰納法の仮定}\\ &=(k+1)x^k\\ &=\mbox{①の右辺} \end{align*}\] となるからこのときも成立.
 以上により,任意の自然数 $n$ で①は成立.

1.5 商の導関数

商の導関数(1) \[ \left\{\frac 1{g(x)}\right\}’=-\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]

証明

 $F(x)=\dfrac1{g(x)}$ とおいて,$F'(x)$ を考える. \[\begin{align*} F(x+h)-F(x)&=\frac1{g(x+h)}-\frac1{g(x)}\\ &=-\frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)g(x)} \end{align*}\] であるから, \[\begin{align*} \frac{F(x+h)-F(x)}h&=-\frac{g(x+h)-g(x)}h\cdot\frac1{g(x+h)g(x)}\\ &\to -g'(x)\cdot\frac1{\{g(x)\}^2}\ \ (h\to0) \end{align*}\]

 この結果を用いて次が示される:

商の導関数(2)\[ \left\{\frac{f(x)}{g(x)}\right\}’=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\]

証明

 $\dfrac{f(x)}{g(x)}=f(x)\cdot\dfrac1{g(x)}$ として積の導関数の公式を用いると, \[\begin{align*} \left(\frac fg\right)’&=f’\cdot\frac1g+f\cdot\left(\frac1g\right)’\ \leftarrow\mbox{積の導関数}\\ &=\frac{f’}g-\frac{fg’}{g^2}\\ &=\frac{f’g-fg’}{g^2} \end{align*}\]

例1 $\left(\dfrac1{x^2+3x}\right)’=-\dfrac{(x^2+3x)’}{(x^2+3x)^2}=\underline{-\dfrac{2x+3}{(x^2+3x)^2}}$
例2 $\left(\dfrac x{x^2+1}\right)’=\dfrac{(x)'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}=\underline{\dfrac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}}$

公式  $n$ が整数のとき, \[(x^n)’=nx^{n-1}\]

証明

 $n$が自然数のときは証明済み.
 よって整数 $n$ が $n\leqq0$ のとき,$(x^n)’=nx^{n-1}\cdots$①が成り立つことを示す.
 $n=0$ のとき,①の両辺は共に0だから成立.
 $n < 0$ のとき,$n=-m$ とおくと,$m > 0$ だから, \[\begin{align*} (x^n)’&=(x^{-m})’\\ &=\left(\frac1{x^m}\right)’\\ &=-\frac{(x^m)’}{(x^m)^2}\ \leftarrow\mbox{商の導関数}\\ &=-\frac{mx^{m-1}}{x^{2m}}\\ &=-mx^{-m-1}\\ &=nx^{n-1} \end{align*}\]  以上により,$n\leqq0$ のときも①は成立.

\[\left(\frac1{x^2}\right)’=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac2{x^3}\]

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