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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

4.三角関数の導関数

4.1 $\sin x$ の導関数

 三角関数の和積公式を用いると,

\[\begin{align*} (\sin x)’&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac{2\cos\left(x+\frac h2\right)\sin\frac h2}h\ \ (\because\mbox{和積公式})\\ &=\lim_{h\to0}\cos\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin\frac h2}{\frac h2}\\ &=\cos x\cdot1\\ &=\cos x \end{align*}\]

4.2 $\cos x$ の導関数

 合成関数の導関数により, \[\begin{align*} (\cos x)’&=\left\{\sin\left(x+\frac\pi2\right)\right\}’\\ &=\cos\left(x+\frac\pi2\right)\cdot\left(x+\frac\pi2\right)’\\ &=-\sin x \end{align*}\]

4.3 $\tan x$ の導関数

\[\begin{align*} (\tan x)’&=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’\\ &=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\ &=\frac1{\cos^2x} \end{align*}\]

三角関数の導関数 \begin{align*} (\sin x)’&=\cos x\\ (\cos x)’&=-\sin x\\ (\tan x)’&=\dfrac 1{\cos^2x} \end{align*}

例1

 $y=\sin3x$ のとき,$y’=\cos3x\cdot3=3\cos3x$
 $\left\{\begin{array}{l} y=\sin u\\ u=3x \end{array}\right.$として,$\dfrac{dy}{dx}=\cos u\cdot 3=3\cos u$

例2

 $y=\cos^2x$ のとき,
 $y’=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin2x$
 $\left\{\begin{array}{l} y=u^2\\ u=\cos x \end{array}\right.$として,$\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot (-\sin x)=-2u\sin x$


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数学Ⅲ 第2章 微分法

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2.合成関数の導関数  無料    【ノート
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9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
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