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4.1 $\sin x$の導関数

 三角関数の和積公式を用いると,

\[\begin{align*} (\sin x)’&=\lim_{h\to0}\frac{\sin(x+h)-\sin x}h\\ &=\lim_{h\to0}\frac{2\cos\left(x+\frac h2\right)\sin\frac h2}h\ \ (\because\mbox{和積公式})\\ &=\lim_{h\to0}\cos\left(x+\frac h2\right)\cdot\frac{\sin\frac h2}{\frac h2}\\ &=\cos x\cdot1\\ &=\cos x \end{align*}\]

4.2 $\cos x$の導関数

 合成関数の導関数により, \[\begin{align*} (\cos x)’&=\left\{\sin\left(x+\frac\pi2\right)\right\}’\\ &=\cos\left(x+\frac\pi2\right)\cdot\left(x+\frac\pi2\right)’\\ &=-\sin x \end{align*}\]

4.3 $\tan x$の導関数

\[\begin{align*} (\tan x)’&=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)’\\ &=\frac{\cos x\cdot\cos x-\sin x\cdot(-\sin x)}{\cos^2 x}\\ &=\frac{\cos^2x+\sin^2x}{\cos^2x}\\ &=\frac1{\cos^2x} \end{align*}\]

三角関数の導関数 \begin{align*} (\sin x)’&=\cos x\\ (\cos x)’&=-\sin x\\ (\tan x)’&=\dfrac 1{\cos^2x} \end{align*}

例1

 $y=\sin3x$のとき,$y’=\cos3x\cdot3=3\cos3x$
 $\left\{\begin{array}{l} y=\sin u\\ u=3x \end{array}\right.$として,$\dfrac{dy}{dx}=\cos u\cdot 3=3\cos u$

例2

 $y=\cos^2x$のとき,
 $y’=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin2x$
 $\left\{\begin{array}{l} y=u^2\\ u=\cos x \end{array}\right.$として,$\dfrac{dy}{dx}=2u\cdot (-\sin x)=-2u\sin x$