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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

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1. 一般角と弧度法 [無料]  
2. 一般角の三角関数 [無料]  
3. 三角関数の性質 [無料]  
4. 三角関数のグラフ [会員]  
5. 三角関数の加法定理 [会員]  
6. 三角関数の種々の公式 [会員]  
7. 三角関数の合成 [会員]  
8. 三角関数の応用 [会員]  

6.1 2倍角の公式

\begin{align*} &\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\\[5pt] &\cos2\alpha=\left\{\begin{array}{l} \cos^2\alpha-\sin^2\alpha\\ 1-2\sin^2\alpha\\ 2\cos^2\alpha-1 \end{array}\right.\\[5pt] &\tan2\alpha=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}

証明

sin の加法定理

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において,$\beta$ も $\alpha$ とおくと, \[\sin(\alpha+\alpha)=\sin\alpha\cos\alpha+\cos\alpha\sin\alpha\] \[\therefore \sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\]

cos の加法定理

\[\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\] において,$\beta$ も $\alpha$ とおくと,\[\cos(\alpha+\alpha)=\cos\alpha\cos\alpha-\cos\alpha\cos\alpha\] \[\therefore \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ \ \cdots\mbox{①}\]

 ①を sin だけの式にすると, \[\begin{align*} \cos2\alpha&=(1-\sin^2\alpha)-\sin^2\alpha\\[5pt] &=1-2\sin^2\alpha \end{align*}\]

 また,①を cos だけの式にすると, \[\begin{align*} \cos2\alpha&=\cos^2\alpha-(1-\cos^2\alpha)\\[5pt] &=2\cos^2\alpha-1 \end{align*}\]

tan の加法定理

\[\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\] において,$\beta$ も $\alpha$ とおくと, \[\begin{align*} \tan(\alpha+\alpha)&=\frac{\tan\alpha+\tan\alpha}{1-\tan\alpha\tan\alpha}\\[5pt] \therefore \tan2\alpha&=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha} \end{align*}\]

6.2 半角の公式

\begin{align*} &\sin^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}2\\[5pt] &\cos^2\frac\alpha2=\frac{1+\cos\alpha}2\\[5pt] &\tan^2\frac\alpha2=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align*}

証明

 $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$ より \[\sin^2\alpha=\frac{1-\cos2\alpha}2\]  $\alpha$ を $\dfrac\alpha2$ におきかえて, \[\begin{align*} \sin^2\frac\alpha2&=\frac{1-\cos\left(2\cdot\frac\alpha2\right)}2\\[5pt] &=\frac{1-\cos\alpha}2 \end{align*}\]  $\cos^2\dfrac\alpha2$ も $\cos2\alpha=2\cos^2\alpha-1$ より同様に計算できる.

\[\begin{align*} \tan^2\frac\alpha2&=\left(\frac{\sin\frac\alpha2}{\cos\frac\alpha2}\right)^2\\[5pt] &=\frac{\sin^2\frac\alpha2}{\cos^2\frac\alpha2}\\[5pt] &=\frac{1-\cos\alpha}{1+\cos\alpha} \end{align*}\]

6.3 3倍角の公式

\begin{align*} &\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\[5pt] &\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{align*}

証明

\[\begin{align*} \sin3\alpha&=\sin(2\alpha+\alpha)\\[5pt] &=\sin2\alpha\cos\alpha+\cos2\alpha\sin\alpha\\[5pt] &=2\sin\alpha\cos^2\alpha+(1-2\sin^2\alpha)\sin\alpha\\[5pt] &=2\sin\alpha(1-\sin^2\alpha)+\sin\alpha-2\sin^3\alpha\\[5pt] &=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha \\[15pt] \cos3\alpha&=\cos(2\alpha+\alpha)\\[5pt] &=\cos2\alpha\cos\alpha-\sin2\alpha\sin\alpha\\[5pt] &=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\sin\alpha\cos\alpha\cdot\sin\alpha\\[5pt] &=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2(1-\cos^2\alpha)\cos\alpha\\[5pt] &=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha \end{align*}\]

6.4 積和公式

\[\begin{align*} &[1]\ \sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[2]\ \cos\alpha\sin\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[3]\ \cos\alpha\cos\beta=\frac12\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}\\[5pt] &[4]\ \sin\alpha\sin\beta=-\frac12\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*}\]

証明

[1],[2]

 sin の加法定理により,
  $\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\ \cdots$①
  $\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\ \cdots$②
 ①$+$②より, \[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta\] \[\therefore \sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\]  ①$-$②より, \[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)=2\cos\alpha\sin\beta\] \[\therefore \cos\alpha\sin\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}\]

[3],[4]

 cos の加法定理により,上と同様にして導くことができる.

6.5 和積公式

\[\begin{align*} &[1]\ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\\[5pt] &[2]\ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2\\[5pt] &[3]\ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\\[5pt] &[4]\ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}2\sin\frac{A-B}2\\[5pt] \end{align*}\]

証明

 積和公式において, \[\left\{\begin{array}{l} \alpha+\beta=A\\[5pt] \alpha-\beta=B \end{array}\right.\] とおくと, \[\left\{\begin{array}{l} \alpha=\dfrac{A+B}2\\[5pt] \beta=\dfrac{A-B}2 \end{array}\right.\] であるから,例えば, \[\sin\alpha\cos\beta=\frac12\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}\] に代入して, \[\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2=\frac12(\sin A+\sin B)\] \[\therefore \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}2\cos\frac{A-B}2\]  他の3つも同様に導くことができる.


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