1. 一般角と弧度法(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

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1. 一般角と弧度法	[無料]
2. 一般角の三角関数	[無料]
3. 三角関数の性質	[無料]
4. 三角関数のグラフ	[会員]
5. 三角関数の加法定理	[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

1.1　一般角

　回転の向きと大きさを表した角を一般角という．

注意

　動径は$360^\circ$で元の位置に戻るから，角 $\theta$ の動径と，角 $(\theta+360^\circ\times n)\ (n$ は整数) の動径は一致する．

1.2　象限の角

　角 $\theta$ について，$n$ を整数として \[\theta=\alpha+360^\circ\times n\] と表されるとき

　$\theta$ が第1象限の角 $\iff 0^\circ<\alpha<90^\circ$
　$\theta$ が第2象限の角 $\iff 90^\circ<\alpha<180^\circ$
　$\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
　$\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$

例題　$\theta$ が第1象限の角のとき，$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か．

　条件より，$n$ を整数として， \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから， \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\] 　よって，$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数)，または第3象限($n$ は奇数)

1.3　弧度法

　半径 $r$ の円で，弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアンとする角の表し方を弧度法という．

Q　180$^\circ$ は何ラジアンか．

A　　$x$ ラジアンとすると，
　　　$r:1$(ラジアン)$=\pi r:x$
　　　　　$\therefore x=\boldsymbol{\pi}$ (ラジアン)

度数法と弧度法の換算式$180^\circ=\pi$ ラジアン

注意

よくある間違い

\[\begin{align*} 30^\circ&=\frac\pi3\\[5pt] 60^\circ&=\frac\pi6 \end{align*}\]

　上の式はいずれも正しくない

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　弧度法では，単位のラジアンは普通省略される．このノートでも，以後ラジアンは原則省略する．

1.4　扇形の弧の長さ・面積

　半径 $r$，中心角 $\theta$ の扇形において，弧の長さを $l$，面積を $S$ とすれば， \[\begin{align*} l&=2\pi r\times\frac\theta{2\pi}=r\theta\\[5pt] S&=\pi r^2\times\frac\theta{2\pi}=\frac12r^2\theta \end{align*}\] 　$S$ は，$l=r\theta$ を用いて次のようにも表される： \[S=\frac12r\cdot r\theta=\frac12rl\]

　半径 $r$，中心角 $\theta$ の扇形において，弧の長さを $l$，面積を $S$ とすると， \[\begin{align*} l&=r\theta\\[5pt] S&=\frac12 r^2\theta=\frac12rl \end{align*}\]

補足

　$l=r\theta$ の方は，弧度法の定義から \[\begin{align*} r:1&=l:\theta\\[5pt] \therefore l&=r\theta \end{align*}\] というように求めるのもよい．

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