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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

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1. 一般角と弧度法 [無料]  
2. 一般角の三角関数 [無料]  
3. 三角関数の性質 [無料]  
4. 三角関数のグラフ [会員]  
5. 三角関数の加法定理 [会員]  
6. 三角関数の種々の公式 [会員]  
7. 三角関数の合成 [会員]  
8. 三角関数の応用 [会員]  

1.1 一般角

 回転の向きと大きさを表した角を一般角という.

注意

 動径は$360^\circ$で元の位置に戻るから,角 $\theta$ の動径と,角 $(\theta+360^\circ\times n)\ (n$ は整数) の動径は一致する.

1.2 象限の角

 角 $\theta$ について,$n$ を整数として \[\theta=\alpha+360^\circ\times n\] と表されるとき

 $\theta$ が第1象限の角 $\iff 0^\circ<\alpha<90^\circ$
 $\theta$ が第2象限の角 $\iff 90^\circ<\alpha<180^\circ$
 $\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
 $\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$

例:$\theta$ が第1象限の角

例題 $\theta$ が第1象限の角のとき,$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か.

 条件より,$n$ を整数として, \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから, \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\]  よって,$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数),または第3象限($n$ は奇数)

$\dfrac\theta2$ の表す動径が存在する領域
(境界線を含まない)

1.3 弧度法

 半径 $r$ の円で,弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアンとする角の表し方を弧度法という.

Q 180$^\circ$ は何ラジアンか.

A  $x$ ラジアンとすると,
   $r:1$(ラジアン)$=\pi r:x$
     $\therefore x=\boldsymbol{\pi}$ (ラジアン)

度数法と弧度法の換算式$180^\circ=\pi$ ラジアン

注意

よくある間違い

\[\begin{align*} 30^\circ&=\frac\pi3\\[5pt] 60^\circ&=\frac\pi6 \end{align*}\]

 上の式はいずれも正しくない


 弧度法では,単位のラジアンは普通省略される.このノートでも,以後ラジアンは原則省略する.

1.4 扇形の弧の長さ・面積

 半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすれば, \[\begin{align*} l&=2\pi r\times\frac\theta{2\pi}=r\theta\\[5pt] S&=\pi r^2\times\frac\theta{2\pi}=\frac12r^2\theta \end{align*}\]  $S$ は,$l=r\theta$ を用いて次のようにも表される: \[S=\frac12r\cdot r\theta=\frac12rl\]

 半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすると, \[\begin{align*} l&=r\theta\\[5pt] S&=\frac12 r^2\theta=\frac12rl \end{align*}\]

補足

 $l=r\theta$ の方は,弧度法の定義から \[\begin{align*} r:1&=l:\theta\\[5pt] \therefore l&=r\theta \end{align*}\] というように求めるのもよい.


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