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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

スライド↓     ノート↓
1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

1.1 一般角

 回転の向きと大きさを表した角を一般角という.

注意

 動径は$360^\circ$で元の位置に戻るから,角 $\theta$ の動径と,角 $(\theta+360^\circ\times n)\ (n$ は整数) の動径は一致する.

1.2 象限の角

 角 $\theta$ について,$n$ を整数として \[\theta=\alpha+360^\circ\times n\] と表されるとき

 $\theta$ が第1象限の角 $\iff 0^\circ<\alpha<90^\circ$
 $\theta$ が第2象限の角 $\iff 90^\circ<\alpha<180^\circ$
 $\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
 $\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$

例:$\theta$ が第1象限の角

例題 $\theta$ が第1象限の角のとき,$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か.

 条件より,$n$ を整数として, \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから, \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\]  よって,$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数),または第3象限($n$ は奇数)

$\dfrac\theta2$ の表す動径が存在する領域
(境界線を含まない)

1.3 弧度法

 半径 $r$ の円で,弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアンとする角の表し方を弧度法という.

Q 180$^\circ$ は何ラジアンか.

A  $x$ ラジアンとすると,
   $r:1$(ラジアン)$=\pi r:x$
     $\therefore x=\boldsymbol{\pi}$ (ラジアン)

度数法と弧度法の換算式$180^\circ=\pi$ ラジアン

注意

よくある間違い

\[\begin{align*} 30^\circ&=\frac\pi3\\[5pt] 60^\circ&=\frac\pi6 \end{align*}\]

 上の式はいずれも正しくない


 弧度法では,単位のラジアンは普通省略される.このノートでも,以後ラジアンは原則省略する.

1.4 扇形の弧の長さ・面積

 半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすれば, \[\begin{align*} l&=2\pi r\times\frac\theta{2\pi}=r\theta\\[5pt] S&=\pi r^2\times\frac\theta{2\pi}=\frac12r^2\theta \end{align*}\]  $S$ は,$l=r\theta$ を用いて次のようにも表される: \[S=\frac12r\cdot r\theta=\frac12rl\]

 半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすると, \[\begin{align*} l&=r\theta\\[5pt] S&=\frac12 r^2\theta=\frac12rl \end{align*}\]

補足

 $l=r\theta$ の方は,弧度法の定義から \[\begin{align*} r:1&=l:\theta\\[5pt] \therefore l&=r\theta \end{align*}\] というように求めるのもよい.


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2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
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4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.