高校数学ノート[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
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1. 一般角と弧度法 | [無料] | |
2. 一般角の三角関数 | [無料] | |
3. 三角関数の性質 | [無料] | |
4. 三角関数のグラフ | [会員] | |
5. 三角関数の加法定理 | [会員] | |
6. 三角関数の種々の公式 | [会員] | |
7. 三角関数の合成 | [会員] | |
8. 三角関数の応用 | [会員] |
1.1 一般角
回転の向きと大きさを表した角を一般角という.

注意
動径は$360^\circ$で元の位置に戻るから,角 $\theta$ の動径と,角 $(\theta+360^\circ\times n)\ (n$ は整数) の動径は一致する.
1.2 象限の角
角 $\theta$ について,$n$ を整数として \[\theta=\alpha+360^\circ\times n\] と表されるとき
$\theta$ が第1象限の角 $\iff 0^\circ<\alpha<90^\circ$
$\theta$ が第2象限の角 $\iff 90^\circ<\alpha<180^\circ$
$\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
$\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$

例題 $\theta$ が第1象限の角のとき,$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か.
条件より,$n$ を整数として, \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから, \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\] よって,$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数),または第3象限($n$ は奇数)

(境界線を含まない)
1.3 弧度法
半径 $r$ の円で,弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアンとする角の表し方を弧度法という.

Q 180$^\circ$ は何ラジアンか.
A $x$ ラジアンとすると,
$r:1$(ラジアン)$=\pi r:x$
$\therefore x=\boldsymbol{\pi}$ (ラジアン)
度数法と弧度法の換算式$180^\circ=\pi$ ラジアン
注意
よくある間違い
\[\begin{align*} 30^\circ&=\frac\pi3\\[5pt] 60^\circ&=\frac\pi6 \end{align*}\]
上の式はいずれも正しくない
弧度法では,単位のラジアンは普通省略される.このノートでも,以後ラジアンは原則省略する.
1.4 扇形の弧の長さ・面積
半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすれば, \[\begin{align*} l&=2\pi r\times\frac\theta{2\pi}=r\theta\\[5pt] S&=\pi r^2\times\frac\theta{2\pi}=\frac12r^2\theta \end{align*}\] $S$ は,$l=r\theta$ を用いて次のようにも表される: \[S=\frac12r\cdot r\theta=\frac12rl\]
半径 $r$,中心角 $\theta$ の扇形において,弧の長さを $l$,面積を $S$ とすると, \[\begin{align*} l&=r\theta\\[5pt] S&=\frac12 r^2\theta=\frac12rl \end{align*}\]
補足
$l=r\theta$ の方は,弧度法の定義から \[\begin{align*} r:1&=l:\theta\\[5pt] \therefore l&=r\theta \end{align*}\] というように求めるのもよい.
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