高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 一般角と弧度法 | |||
| 2. 一般角の三角関数 | |||
| 3. 三角関数の性質 | |||
| 4. 三角関数のグラフ | |||
| 5. 三角関数の加法定理 | |||
| 6. 三角関数の種々の公式 | |||
| 7. 三角関数の合成 | |||
| 8. 三角関数の応用 |
1．一般角と弧度法
1.1 一般角とは
まずは一般角のイメージを
例えば，図のようなインベーダーゲームにおいて，自分は司令塔にいるとする．
向かいくる敵を迎撃するのに，大砲をどの方向に向けるよう指示を出せばよいだろうか？
例えば，真正面を基準線とし，反時計回りを「＋」，時計回りを「－」として「－45°に撃て！」と指示すればよいだろう．また，敵が自分たちの周りを反時計回りに旋回して2回転したときは，「敵は＋720°移動した」ということもできよう．
一般角とは大雑把に言えばこのような角の表現のことである．
一般角とは何か，これまでの角との違いは？
これまで角といえばその大きさのみが問題であった．
これからは大きさに加え，向きも考慮に入れた角を考えることにする．
半直線OXはOを中心に回転するとする．
この動く半直線を動径(どうけい)といい，スタートラインを始線(しせん)という．
そして始線から
反時計回りに回転したときにできる角を正の角，
時計回りに回転したときにできる角を負の角
という．
このように，
始線からの回転の向きと大きさ
を表した角を一般角という．
また始線からの角が $\theta$ である動径を $\boldsymbol{\theta}$ の動径という．
一般角とは単に大きさだけでなく回転の向きも表した角
＋と－は正負ではなく，回転の向きを意味する
正の角は，例えば $+60^\circ$ のように記号「＋」を用いて表されるが，通常この「＋」は省略される．
逆に負の角は， $-60^\circ$ のように記号「－」を用いて表され，こちらは省略できない．
このように，「－」の記号を用いて「負」の角と呼ぶなど，実数と同じ表現を用いて紛らわしいが，「－」は負の数を意味を表すのではなく，
動径が回転する向きを表すのだ
ということに十分注意しておく必要がある．
注意
動径は$360^\circ$で元の位置に戻る．よって，$n$ を整数として
角 $\theta$ の動径 と，
角 $(\theta+360^\circ\times n)$ の動径
は一致する．
例題 次の角の動径OPを図示せよ．
(1) $240^\circ$ (2) $-45^\circ$ (3) $390^\circ$
(1)
こたえ
(2)
こたえ
(3)
こたえ
1.2 象限の角
角 $\theta$ について，$n$ を整数として
\[\theta=\alpha+360^\circ\times n\]
と表されるとき，次のような「第○象限の角」という表現がしばしば用いられる．
象限の角 $\theta$ が第1象限の角 $\iff\hspace{3mm}0^\circ<\alpha<90^\circ$
$\theta$ が第2象限の角 $\iff\hspace{1mm} 90^\circ<\alpha<180^\circ$
$\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
$\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$
これは要するに，その角の動径が第何象限にあるかということである．
細かな注意であるが，象限の角といったときには境界である $0^\circ$，$90^\circ$，$180^\circ$，$270^\circ$ ，$360^\circ$ 等は除かれる．
すなわち動径が $x$ 軸上もしくは $y$ 軸上にある角は，どの象限にも属さないとするのである．
例題 $\theta$ が第1象限の角のとき，$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か．
こたえ
条件より，$n$ を整数として， \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから， \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\] よって，$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数)，または第3象限($n$ は奇数)
(境界線を含まない)
1.3 弧度法
弧度法とは
小学生の時から慣れ親しんだ角は，1周りを360等分した大きさを1単位とするもので，度数法と呼ばれる．
しかし角を測るのにどうしても360等分しなければならないという理由はない．
そこでいま新しい角の計測法を導入する．
半径 $r$ の円で，
弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアン
とする角の表し方を弧度法(こどほう)という．
この角の表現法は，今後の数学においてとても重要なもので，とりわけ微積分の分野では角度といえば弧度法である．
弧度法とは 半径 $r$ の円において，長さが $r$ の弧をとる．その中心角を1ラジアンとする角の表し方
※スライド に1ラジアンの理解を助ける簡単なアニメーションがあります．
この1ラジアンという単位は，半径 $r$ の長さに依存しないことに注意しよう．
つまり $r=1$ の円で考えようが， $r=100$ の円で考えようが，1ラジアンといえば同じ大きさの角となる．
念のために理由を説明しておく．
扇形の「中心角」と「弧の長さ」は比例するから，1周360°に対する1ラジアンの割合は
\[\dfrac r{2\pi r}=\dfrac1{2\pi}\fallingdotseq\dfrac1{6.28}\]
であり，半径 $r$ の値によらない．
この割合を用いれば，1ラジアンは
\[360^\circ\times\dfrac1{6.28}\fallingdotseq 57.3^\circ\]
ということになる．
【重要例題】
180$^\circ$ は何ラジアンか．