1. 一般角と弧度法(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

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1. 一般角と弧度法	[無料]
2. 一般角の三角関数	[無料]
3. 三角関数の性質	[無料]
4. 三角関数のグラフ	[会員]
5. 三角関数の加法定理	[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

1.1　一般角とは

　これまで角といえばその大きさのみが問題であった．これからは大きさに加え，向きも考慮に入れた角を考えることにする．

　半直線OXはOを中心に回転するとする．この動く半直線を動径といい，スタートラインを始線という．そして始線から反時計回りに回転したときにできる角を正の角，時計回りに回転したときにできる角を負の角という．

　このように，始線からの回転の向きと大きさを表した角を一般角という．また始線からの角が $\theta$ である動径を $\boldsymbol{\theta}$ の動径という．

　正の角は例えば $+60^\circ$ のように記号「＋」を用いて表されるが，通常この「＋」は省略される．また逆に負の角は $-60^\circ$ のように記号「－」を用いて表され，こちらは省略できない．このように「－」の記号を用いて「負」の角と呼ぶなど実数と同じ表現を用いて紛らわしいが，記号「－」は負の数を意味を表すのではなく，向きを表すのだということに十分注意しておく必要がある．

注意

　動径は$360^\circ$で元の位置に戻るから，角 $\theta$ の動径と，角 $(\theta+360^\circ\times n)\ (n$ は整数) の動径は一致する．

例題　次の角の動径OPを図示せよ．
(1)　$240^\circ$　　　(2)　$-45^\circ$　　　(3)　$390^\circ$

こたえ

(1)

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(2)

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(3)

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1.2　象限の角

　角 $\theta$ について，$n$ を整数として \[\theta=\alpha+360^\circ\times n\] と表されるとき

　$\theta$ が第1象限の角 $\iff\hspace{3mm}0^\circ<\alpha<90^\circ$
　$\theta$ が第2象限の角 $\iff\hspace{1mm} 90^\circ<\alpha<180^\circ$
　$\theta$ が第3象限の角 $\iff 180^\circ<\alpha<270^\circ$
　$\theta$ が第4象限の角 $\iff 270^\circ<\alpha<360^\circ$

　細かな注意であるが，象限の角といったときには境界である $0^\circ$，$90^\circ$，$180^\circ$，$270^\circ$ ，$360^\circ$ は除かれる．

例題　$\theta$ が第1象限の角のとき，$\dfrac\theta2$ は第何象限の角か．

答

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　条件より，$n$ を整数として， \[\theta=\alpha+360^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\alpha<90^\circ\] とおけるから， \[\frac\theta2=\frac\alpha2+180^\circ\times n,\ \ 0^\circ<\frac\alpha2<45^\circ\] 　よって，$\dfrac\theta2$ は第1象限($n$ は偶数)，または第3象限($n$ は奇数)

1.3　弧度法

　小学生の時から慣れ親しんだ角は，1周りを360等分した大きさを1単位とするもので，度数法と呼ばれる．しかし角を測るのにどうしても360等分しなければならないという理由はない．そこでいま新しい角の計測法を導入する．

　半径 $r$ の円で，弧の長さが $r$ のときの中心角を1ラジアンとする角の表し方を弧度法という．この角の表現法は，今後の数学においてとても重要なもので，とりわけ微積分の分野では角度といえば弧度法である．

※スライド に1ラジアンの理解を助ける簡単なアニメーションがあります．

重要例題　180$^\circ$ は何ラジアンか．

こたえ

　$x$ ラジアンとすると，半径 $r$ の円で中心角 $180^\circ$ に対する弧の長さは $\pi r$ であるから，

　　　$r:1$(ラジアン)$=\pi r:x$
　　　　　$\therefore x=\boldsymbol{\pi}$ (ラジアン)

注意

よくある間違い

\[\begin{align*} 30^\circ&=\frac\pi3\\[5pt] 60^\circ&=\frac\pi6 \end{align*}\]

　上の式はいずれも正しくない

例題1　次の角を弧度法で表せ．
(1)　$15^\circ$　　(2)　$-135^\circ$　　(3)　$720^\circ$

こたえ

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(1)　$15^\circ=\pi\times\dfrac{15^\circ}{180^\circ}=\dfrac\pi{12}$

(2)　$-135^\circ=\pi\times\left(-\dfrac{135^\circ}{180^\circ}\right)=-\dfrac34\pi$

(3)　$720^\circ=\pi\times\dfrac{720^\circ}{180^\circ}=4\pi$

例題2　次の角を度数法で表せ．
(1)　$\dfrac\pi4$　　(2)　$-\dfrac43\pi$　　(3)　$\dfrac32\pi$

こたえ

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(1)　$\dfrac\pi4=180^\circ\times\dfrac14=45^\circ$

(2)　$-\dfrac43\pi=180^\circ\times\left(-\dfrac43\right)=-240^\circ$

(3)　$\dfrac32\pi=180^\circ\times\dfrac32=270^\circ$

1.4　扇形の弧の長さ・面積

　半径 $r$，中心角 $\theta$ の扇形において，弧の長さを $l$，面積を $S$ とすれば， \[\begin{align*} l&=2\pi r\times\frac\theta{2\pi}=r\theta\\[5pt] S&=\pi r^2\times\frac\theta{2\pi}=\frac12r^2\theta \end{align*}\] 　$S$ は，$l=r\theta$ を用いて次のようにも表される： \[S=\frac12r\cdot r\theta=\frac12rl\]

扇形の弧の長さ・面積 　半径 $r$，中心角 $\theta$ の扇形において，弧の長さを $l$，面積を $S$ とすると， \[\begin{align*} l&=r\theta\\[5pt] S&=\frac12 r^2\theta=\frac12rl \end{align*}\]

補足

　$l=r\theta$ の方は，弧度法の定義から \[\begin{align*} r:1&=l:\theta\\[5pt] \therefore l&=r\theta \end{align*}\] というように求めるのもよい．

注意

　導出過程からもわかるように，上の公式における角 $\theta$ は弧度法における角であり，$30^\circ$ や $60^\circ$ といった度数法の値では正しい結果が得られない．

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