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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

スライド↓     ノート↓
1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2.1 三角関数の定義

 $x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と,原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし,その座標を $(x,y)$ とする.このとき,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ を次で定義する:

三角関数の定義 \[\begin{align*} \sin\theta&=\frac yr\\[5pt] \cos\theta&=\frac xr\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数}) \end{align*}\]

 この定義によれば,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ の各値は,相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず,$\theta$ によってただ1つ定まる.つまり角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数である.これら $\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$ を三角関数という.

 $\theta=-\dfrac\pi3$ のときの,$\sin\theta$,$\cos\theta$,$\tan\theta$

 $-\dfrac\pi3$ の動径と,半径2の円との交点をPとすると,Pの座標は $(1,-\sqrt3)$ であるから,

\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[5pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]

2.2 単位円における三角関数

 原点を中心とする半径1の円を単位円という.

 単位円で三角関数を考えると次のようになる:

単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]

単位円での三角関数

 図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると,

${\boldsymbol \sin\theta}$ はPの ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ はPの ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの

である.つまり

$\boldsymbol{\sin\theta,\ \cos\theta}$ の視覚化

であり,これは誠に重要である.

補足

 $\theta$ が第2,第3象限の角のとき,$\tan\theta$ の視覚化については次のように考える:

\[\tan\theta=\frac yx=\frac{-y}{-x}=\frac m1=m\]

$\theta$ が第2象限の角のとき

 ※2点 $(x,y),\ (-x,-y)$ は原点に関して対称である.

例題 $0\!\leqq\!\theta\!<\!2\pi$ のとき,$\cos\theta\!=\!-\dfrac12$ を満たす $\theta$ の値はを求めよ.

 図より,$\underline{\boldsymbol{\theta=\dfrac23\pi,\ \dfrac43\pi}}$

2.3 三角関数の符号と取りうる値の範囲

三角関数の符号

三角関数の取りうる値の範囲

\[\begin{gather*}-1\leqq\sin\theta\leqq 1\\[5pt] -1\leqq\cos\theta\leqq 1\\[5pt] \tan\theta\ \mbox{はすべての実数値をとりうる}\end{gather*}\]


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8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.