2. 一般角の三角関数(ノート)
スライドで学ぶ高校数学

高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

	スライド	ノート	問題
1. 一般角と弧度法	[会員]
2. 一般角の三角関数	[会員]
3. 三角関数の性質	[会員]		[会員]
4. 三角関数のグラフ	[会員]
5. 三角関数の加法定理	[会員]		[会員]
6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

2.1　三角関数の定義

三角関数とは何か

　数学Ⅰの三角比のところで，角 $\theta$ を $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上に拡張した際のアイデアは，そのまま一般角 $\theta$ に対する $\sin$，$\cos$，$\tan$ に適用することができる．

　$x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし，その座標を $(x,\ y)$ とする．このとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を次で定義する：

三角関数の定義 \[\begin{align*} \sin\theta&=\frac yr\\[5pt] \cos\theta&=\frac xr\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数}) \end{align*}\]

　この定義によれば，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の各値は，相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず，$\theta$ によってただ1つ定まる．つまり角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数である．これら $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を三角関数という．

例　$\theta=-\dfrac\pi3$ のときの，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$

答　$-\dfrac\pi3$ の動径と，半径2の円との交点をPとすると，Pの座標は $(1,-\sqrt3)$ であるから，

\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[5pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]

　代表的な三角関数の値をまとめると次の表のようになる：

$\theta$	0	$\dfrac\pi6$	$\dfrac\pi4$	$\dfrac\pi3$	$\dfrac\pi2$
$\sin\theta$	0	$\dfrac12$	$\dfrac1{\sqrt2}$	$\dfrac{\sqrt3}2$	1
$\cos\theta$	1	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac1{\sqrt2}$	$\dfrac12$	0
$\tan\theta$	0	$\dfrac1{\sqrt3}$	1	$\sqrt3$	–

$\theta$	$\dfrac\pi2$	$\dfrac{2\pi}3$	$\dfrac{3\pi}4$	$\dfrac{5\pi}6$	$\pi$
$\sin\theta$	1	$\dfrac{\sqrt3}2$	$\dfrac1{\sqrt2}$	$\dfrac12$	1
$\cos\theta$	0	$-\dfrac12$	$-\dfrac1{\sqrt2}$	$-\dfrac{\sqrt3}2$	0
$\tan\theta$	–	$-\sqrt3$	$-1$	$-\dfrac1{\sqrt3}$	0

2.2　単位円における三角関数

三角関数は単位円で考えるのが基本

　原点を中心とする半径1の円を単位円という．

　単位円で三角関数を考えると，半径 $r=1$ であるから次のようになる：

単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]

　今後三角関数は基本的に単位円を用いて考えていくことになる．その理由は何か．単に $\sin\theta,\cos\theta$ が分数の表記を取らないからラクだというのは些細なメリットで，それよりずっと大きなメリットは図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると，

${\boldsymbol \sin\theta}$ はPの ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ はPの ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの

となることである．つまり

であり，これは誠に重要である．

補足

第2，3象限での $\tan\theta$ の視覚化

　$\theta$ が第2，第3象限の角のとき，$\tan\theta$ の視覚化については次のように考える：

\[\tan\theta=\frac yx=\frac{-y}{-x}=\frac m1=m\]

　※2点 $(x,\ y),\ (-x,\ -y)$ は原点に関して対称である．

例題　$0\leqq\theta<2\pi$ のとき，$\cos\theta=-\dfrac12$ を満たす $\theta$ の値はを求めよ．

こたえ

　解答例を表示する

　図より，$\underline{\boldsymbol{\theta=\dfrac23\pi,\ \dfrac43\pi}}$

2.3　三角関数の符号と取りうる値の範囲

三角関数の符号

三角関数の符号も単位円で考える

　単位円で考えたときの三角関数は

\[\sin\theta=y,\ \cos\theta=x,\ \tan\theta=\dfrac yx\]

であったから，$\sin\theta$ は $y$ 座標に，$\cos\theta$ は $x$ 座標にそれぞれ関係している．そして $\tan\theta$ は $\dfrac yx$ であったから， $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の符号を掛けたものとして考えることができる．

三角関数の取りうる値の範囲

三角関数の値域も単位円で考える

　すぐ上の符号のときと同様に，単位円で三角関数を考えてみる．単位円とは原点を中心とする半径1の円のことであったから，$x$ 座標，$y$ 座標とも $-1$ 以上 $1$ 以下の値しかとれない．つまり $\sin\theta$ や $\cos\theta$ のとりうる値の範囲は，$-1$ 以上 $1$ 以下である．
　一方 $\tan\theta$ の方は，上の視覚化のところで見たように，いくらでも大きな値や小さな値がとれる．すなわち $\tan\theta$ のとりうる値の範囲は実数全体である．

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