高校数学ノート[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
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| 1. 一般角と弧度法 | [無料] | |
| 2. 一般角の三角関数 | [無料] | |
| 3. 三角関数の性質 | [無料] | |
| 4. 三角関数のグラフ | [会員] | |
| 5. 三角関数の加法定理 | [会員] | |
| 6. 三角関数の種々の公式 | [会員] | |
| 7. 三角関数の合成 | [会員] | |
| 8. 三角関数の応用 | [会員] |
2.1 三角関数の定義
$x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし，その座標を $(x,y)$ とする．このとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を次で定義する：
三角関数の定義 \[\begin{align*} \sin\theta&=\frac yr\\[5pt] \cos\theta&=\frac xr\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数}) \end{align*}\]
この定義によれば，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の各値は，相似な図形を考えればわかるように半径 $r$ にはよらず，$\theta$ によってただ1つ定まる．つまり角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数である．これら $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を三角関数という．
例 $\theta=-\dfrac\pi3$ のときの，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$
答 $-\dfrac\pi3$ の動径と，半径2の円との交点をPとすると，Pの座標は $(1,-\sqrt3)$ であるから，
\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[5pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[5pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]
2.2 単位円における三角関数
原点を中心とする半径1の円を単位円という．
単位円で三角関数を考えると次のようになる：
単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[5pt] \cos\theta&=x\\[5pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]
図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると，
${\boldsymbol \sin\theta}$ はPの ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ はPの ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの
である．つまり
$\boldsymbol{\sin\theta,\ \cos\theta}$ の視覚化
であり，これは誠に重要である．
補足
$\theta$ が第2，第3象限の角のとき，$\tan\theta$ の視覚化については次のように考える：
\[\tan\theta=\frac yx=\frac{-y}{-x}=\frac m1=m\]
※2点 $(x,y),\ (-x,-y)$ は原点に関して対称である．
例題 $0\!\leqq\!\theta\!<\!2\pi$ のとき，$\cos\theta\!=\!-\dfrac12$ を満たす $\theta$ の値はを求めよ．
図より，$\underline{\boldsymbol{\theta=\dfrac23\pi,\ \dfrac43\pi}}$
2.3 三角関数の符号と取りうる値の範囲
三角関数の符号
三角関数の取りうる値の範囲
\[\begin{gather*}-1\leqq\sin\theta\leqq 1\\[5pt] -1\leqq\cos\theta\leqq 1\\[5pt] \tan\theta\ \mbox{はすべての実数値をとりうる}\end{gather*}\]
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