高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 一般角と弧度法 | |||
| 2. 一般角の三角関数 | |||
| 3. 三角関数の性質 | |||
| 4. 三角関数のグラフ | |||
| 5. 三角関数の加法定理 | |||
| 6. 三角関数の種々の公式 | |||
| 7. 三角関数の合成 | |||
| 8. 三角関数の応用 |
2．一般角の三角関数
2.1 三角関数の定義
三角関数とは何か
数学Ⅰの三角比のところで，角 $\theta$ を $0^\circ$ や $90^\circ$ 以上に拡張した際のアイデアは，そのまま一般角 $\theta$ に対する $\sin$，$\cos$，$\tan$ に適用することができる．
$x$ 軸の正の向きを始線とする一般角 $\theta$ の動径と，原点を中心とする半径 $r$ の円との交点をPとし，その座標を $(x,\ y)$ とする．
このとき，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を次で定義する：
三角関数の定義
\[\begin{align*}
\sin\theta&=\frac yr\\[5pt]
\cos\theta&=\frac xr\\[5pt]
\tan\theta&=\frac yx\ \ (\theta\neq\frac\pi2+n\pi,\ n\,\mbox{は整数})
\end{align*}\]
この定義によれば，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ の各値は，相似な図形を考えればわかるように，半径 $r$ の値にはよらず，$\theta$ の値によってただ1つ定まる．
つまり
角 $\boldsymbol{\theta}$ の関数
である．
これら $\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を三角関数という．
例題 $\theta=-\dfrac\pi3$ のときの，$\sin\theta$，$\cos\theta$，$\tan\theta$ を求めよ．
答
三角関数を考えるうえで，半径の大きさは何でもよいのであるが，ここではとりあえず2で考えてみる．
$-\dfrac\pi3$ の動径と，この円との交点をPとすると，Pの座標は $(1,\ -\sqrt3)$ である．
よって
\[\begin{align*} &\sin\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}2=-\frac{\sqrt3}2\\[8pt] &\cos\left(-\frac\pi3\right)=\frac12\\[8pt] &\tan\left(-\frac\pi3\right)=\frac{-\sqrt3}1=-\sqrt3 \end{align*}\]
代表的な三角関数の値をまとめると次の表のようになる：
| $\theta$ | $0$ | $\dfrac{\pi}{6}$ | $\dfrac{\pi}{4}$ | $\dfrac{\pi}{3}$ | $\dfrac{\pi}{2}$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ |
| $\cos\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\tan\theta$ | $0$ | $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $1$ | $\sqrt{3}$ | $-$ |
| $\theta$ | $\dfrac{\pi}{2}$ | $\dfrac{2\pi}{3}$ | $\dfrac{3\pi}{4}$ | $\dfrac{5\pi}{6}$ | $\pi$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $\sin\theta$ | $1$ | $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $\dfrac{1}{2}$ | $0$ |
| $\cos\theta$ | $0$ | $-\dfrac{1}{2}$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ | $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ | $-1$ |
| $\tan\theta$ | $-$ | $-\sqrt{3}$ | $-1$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ | $0$ |
2.2 単位円における三角関数
三角関数は単位円で考えるのが基本
原点を中心とする半径1の円を単位円という．
単位円で三角関数を考えると，半径 $r=1$ であるから次のようになる：
単位円での三角関数 \[\begin{align*} \sin\theta&=y\\[8pt] \cos\theta&=x\\[8pt] \tan\theta&=\frac yx \end{align*}\]
今後三角関数は基本的に単位円を用いて考えていくことになる．
その理由は何か．
単に $\sin\theta,\cos\theta$ が分数の表現を取らないからラクだ，というのはほんの些細なメリットである．
それよりずっと大きなメリットは，上の図のように角 $\theta$ の動径をOPとすると，
${\boldsymbol \sin\theta}$ は ${\boldsymbol{\rm P}}$ の ${\boldsymbol y}$ 座標そのもの
${\boldsymbol \cos\theta}$ は ${\boldsymbol{\rm P}}$ の ${\boldsymbol x}$ 座標そのもの
となることである．
つまり
単位円で考えることの意義$\boldsymbol{\sin\theta,\ \cos\theta}$ の視覚化
である．
これは誠に重要である．