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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

スライド↓     ノート↓
1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

7.0 三角関数の合成とは

 三角関数の合成公式と呼ばれるものがある.これは簡単に言ってしまえば,$\sin$,$\cos$ の加法定理で,右辺から左辺への書き換えのことである.

7.1 sin での合成

 $\sin$ の加法定理である \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において,右辺から左辺に書き換えるのが $\sin$ での合成である.

 $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\sin(\theta+\triangle)$

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\left(\underline{\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2+\cos\theta\cdot\frac12}\right)\\[5pt] &=2\underline{\sin\left(\theta+\frac\pi6\right)} \end{align*}\]    ※   の部分で $\sin$ の加法定理を用いた.

 一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=\sqrt{a^2\!+\!b^2}\left(\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \end{align*}\]  ただし $\alpha$ は, \[\cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\] となる角である.

まとめ\begin{gather*} a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\\ \mbox{ただし},\ \sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\end{gather*}

覚え方

7.2 cos での合成

 $\cos$ の加法定理である \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\] において,右辺から左辺に書き換えるのが $\cos$ での合成である.

 $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\cos(\theta-\triangle)$

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\left(\underline{\cos\theta\cdot\frac12+\cos\theta\cdot\frac{\sqrt3}2}\right)\\[5pt] &=2\underline{\cos\left(\theta-\frac\pi3\right)} \end{align*}\]    ※   の部分で $\cos$ の加法定理を用いた.

 一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=b\cos\theta+a\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{b^2\!+\!a^2}\left(\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta) \end{align*}\]  ただし $\beta$ は, \[\cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] となる角である.

\begin{gather*} a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)\\ \mbox{ただし},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\end{gather*}

覚え方


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数学Ⅱ 第4章 三角関数

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1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.