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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

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1. 一般角と弧度法 [無料]  
2. 一般角の三角関数 [無料]  
3. 三角関数の性質 [無料]  
4. 三角関数のグラフ [会員]  
5. 三角関数の加法定理 [会員]  
6. 三角関数の種々の公式 [会員]  
7. 三角関数の合成 [会員]  
8. 三角関数の応用 [会員]  

7.0 三角関数の合成とは

 三角関数の合成公式と呼ばれるものがある.これは要するに $\sin$,$\cos$ の加法定理で,右辺から左辺への書き換えのことである.

7.1 sin での合成

 $\sin$ の加法定理である \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において,右辺から左辺に書き換えるのが $\sin$ での合成である.

 $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\sin(\theta+\triangle)$

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\left(\underline{\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2+\cos\theta\cdot\frac12}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\sin\left(\theta+\frac\pi6\right)} \end{align*}\]    ※   の部分で $\sin$ の加法定理を用いた.

 一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=\sqrt{a^2\!+\!b^2}\left(\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \end{align*}\]  ただし $\alpha$ は, \[\cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\] となる角である.

まとめ\begin{gather*} a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\\ \mbox{ただし},\ \sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\end{gather*}

覚え方

 座標平面上に,$\sin$ の係数を $x$ 座標に,$\cos$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(a,b)$ をとり,原点Oと結ぶ.この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\sin$ の係数であり,線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である.

(1) $-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}\sin\left(\theta+\dfrac56\pi\right)$
          $=2\sin\left(\theta+\dfrac56\pi\right)$

(2) $-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-1)^2}\sin\left(\theta-\dfrac56\pi\right)$
          $=2\sin\left(\theta-\dfrac56\pi\right)$

(3) $\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}\sin\left(\theta-\dfrac\pi6\right)$
         $=2\sin\left(\theta-\dfrac\pi6\right)$

補足

 例えば(1)では,

\[\begin{align*} -\sqrt3\sin\theta+\cos\theta&=-(\sqrt3\sin\theta-\cos\theta)\\[5pt] &=-2\sin\left(\theta-\frac\pi6\right) \end{align*}\]

というように,合成後の $\sin$ の係数を負の数にすることもできるが,普通は正の数で表されることがほとんどである.

7.2 cos での合成

 $\cos$ の加法定理である \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\] において,右辺から左辺に書き換えるのが $\cos$ での合成である.

 $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\cos(\theta-\triangle)$

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\left(\underline{\cos\theta\cdot\frac12+\cos\theta\cdot\frac{\sqrt3}2}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\cos\left(\theta-\frac\pi3\right)} \end{align*}\]    ※   の部分で $\cos$ の加法定理を用いた.

 一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=b\cos\theta+a\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{b^2\!+\!a^2}\left(\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta) \end{align*}\]  ただし $\beta$ は, \[\cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] となる角である.

\begin{gather*} a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)\\ \mbox{ただし},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}, \cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}\end{gather*}

覚え方

 座標平面上に,$\cos$ の係数を $x$ 座標に,$\sin$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(b,a)$ をとり,原点Oと結ぶ.この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\cos$ の係数であり,線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である.

(1) $-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+1^2}\cos\left\{
\theta-\left(-\dfrac\pi3\right)\right\}$
          $=2\cos\left(\theta+\dfrac\pi3\right)$

(2) $-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(-\sqrt3)^2+(-1)^2}\cos\left\{\theta-\left(-\dfrac23\pi\right)\right\}$
          $=2\cos\left(\theta+\dfrac23\pi\right)$

(3) $\sqrt3\sin\theta-\cos\theta=\sqrt{(\sqrt3)^2+(-1)^2}\cos\left(\theta-\dfrac23\pi\right)$
         $=2\cos\left(\theta-\dfrac23\pi\right)$


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