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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

  スライド ノート 問題
1. 一般角と弧度法 [会員]    
2. 一般角の三角関数 [会員]    
3. 三角関数の性質 [会員]   [会員]
4. 三角関数のグラフ [会員]    
5. 三角関数の加法定理 [会員]   [会員]
6. 三角関数の種々の公式 [会員]    
7. 三角関数の合成 [会員]    
8. 三角関数の応用 [会員]    

7.0　三角関数の合成とは

三角関数の合成とは何か

　三角関数の合成公式と呼ばれるものがある．$\sin$ と $\cos$ の1次式を $\sin$ だけ，あるいは $\cos$ だけで書き表すもので，これは要するに $\sin$，$\cos$ の加法定理 で，右辺から左辺への書き換えのことである．例えば sin の加法定理である

\[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\]

という式について，左辺と右辺を入れ替えた

\[\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta=\sin(\alpha+\beta)\]

が三角関数の sin による合成公式であると，大雑把に言うことができる．

7.1　sin での合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$ を sin だけの式にする

　$\sin$ の加法定理 である \[\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\] において，右辺から左辺に書き換えるのが $\sin$ での合成である．

例　$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\sin(\theta+\triangle)$

　この左辺を変形して，右辺のように $\sin$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．

手順
  1. sin の係数である $\sqrt3$ と cos の係数である1の平方の和を計算し，正の平方根をとる．
    \[\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}=\sqrt4=2\]
  2. 手順1で求めた 2 で，式全体を無理矢理くくる．
    $\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=2\left(\sin\theta\cdot\underline{\dfrac{\sqrt3}2}_{\mbox{①}}+\cos\theta\cdot\underline{\dfrac12}_{\mbox{②}}\right)$
  3. $\sin(\theta+\alpha)=\sin\theta\,\underline{\cos\alpha}_{\mbox{①}}\!\!+\cos\theta\,\underline{\sin\alpha}_{\mbox{②}}$ (sinの加法定理)の右辺と比較して，$\cos\alpha=\dfrac{\sqrt3}2$ (①)， $\sin\alpha=\dfrac12$ (②)となるような角 $\alpha$ を探すと，$\alpha=\dfrac\pi6$ が当てはまる．
  4. sinの加法定理で右辺から左辺の書き換えを行って完了．
    \[\begin{align*}\sqrt3\sin\theta+\cos\theta&=2\left(\sin\theta\cos\dfrac\pi6+\cos\theta\sin\dfrac\pi6\right)\\[5pt]&=2\sin\left(\theta+\dfrac\pi6\right)\end{align*}\]

　以上の流れを式だけで表すと次のようになる：

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\sqrt{(\sqrt3)^2+1^2}\left(\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2+\cos\theta\cdot\frac12\right)\\[5pt] &=\sqrt{3+1}\left(\underline{\sin\theta\cdot\cos\frac\pi6+\cos\theta\cdot\sin\frac\pi6}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\sin\left(\theta+\frac\pi6\right)} \end{align*}\]

※　　　の部分で $\sin$ の加法定理を用いた．

　一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=\sqrt{a^2\!+\!b^2}\left(\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha) \end{align*}\] 　ただし $\alpha$ は，

\[\sin\alpha=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\alpha=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\]

となる角である．

三角関数のsinでの合成公式\[a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)\]

ただし，$\sin\alpha=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\alpha=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}}$

覚え方

　三角関数を合成する際，上の手順書通りにやるとそれなりに手間がかかるが，実際には次のような考え方をとることで，慣れてくればほぼストレスフリーで合成完了までもっていけるようになる．

　座標平面上に，$\sin$ の係数を $x$ 座標に，$\cos$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(a,b)$ をとり，原点Oと結ぶ．この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\sin$ の係数であり，線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である．

三角関数の合成ができる型

　さて，三角関数が合成できる形は $a,b$ を実数の定数として

\[a\sin\theta+b\cos\theta\]

であって，

三角関数の合成ができる型

  • $\sin,\cos$ の1次式．
  • $\sin,\cos$ の中身 (ここでは $\theta$ とする) は同じ．
  • $\sin,\cos$ の係数 $a,b$ は同じ数である必要なし．
  • $\sin,\cos$ の係数 $a,b$ は正負いかなる数でもよい．

というのが特徴である．

よくある質問

$\boldsymbol{a\sin\theta+b\cos\theta}$ の形で合成ができない場合はありませんか．実数 $a,\ b$ の値の範囲に制限はなくいつでも sin で合成できるのですか．

いつ，いかなる場合でも合成できる．

点 $(a,\ b)$ は座標平面上に必ず取れて，その点と原点を結べば，上の図の□と△で表された線分の長さと角度が必ず存在する．それらを用いて $\square\sin(\theta+\triangle)$ と書くと，合成が完成する．つまりいかなる $a$ と $b$ の値に対しても，合成はできるのである．

例題　次の式を $r\sin(\theta+\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi<\alpha<\pi$ とする．
(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$
(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$
(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$

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コラム　どうして三角関数を合成するのか？

　$a\sin\theta+b\cos\theta$ と表された三角関数の式を合成する動機にはどのようなものがあるだろうか．多いのは，この形の式がとりうる値の範囲を調べたいときである．例えば $0\leqq\theta<2\pi$ に対して

\[\sin\theta+\sqrt3\cos\theta\]

のとりうる値の範囲を調べるとしよう．式の中に $\theta$ が2か所あり，それらが同じ値をとりながら変化していくわけであるが，$\sin\theta$ や $\cos\theta$ はそれぞれ値が大きくなったり小さくなったりを繰り返す関数なので，とりうる値の範囲が捉えにくい．ところが三角関数の合成公式によって

\[\sin\theta+\sqrt3\cos\theta=2\sin\left(\color{red}{\theta}+\frac\pi3\right)\]

と書き換えてしまうと，$\color{red}{\theta}$ が1か所になっている．するとあとは $\sin\left(\theta+\dfrac\pi3\right)$ の変化の様子を考えるだけでよくなり，式のとりうる値の範囲がわかるという訳である．2つの $\theta$ を同時に動かして考えるのは難しいが，1つであれば考えやすい．

7.2　cos での合成

$a\sin\theta+b\cos\theta$ を cos だけの式にする

　$\sin$ で合成したものと同じ式である $a\sin\theta+b\cos\theta$ を，今度は $\cos$ で合成してみよう．

　$\cos$ の加法定理 である \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\] において，右辺から左辺に書き換えるのが $\cos$ での合成である．

※　$\cos(\alpha+\beta)$ ではなく， $\cos(\alpha-\beta)$ とマイナスになっていることに注意．下の「注意」も参照．

例　$\sqrt3\sin\theta+\cos\theta=\mbox{□}\cos(\theta-\triangle)$

　この左辺を変形して，右辺のように $\cos$ だけの式を導こう．それには □ と △ の情報が必要である．□ と △ の値を得るために，以下のような手順で変形を行う．

手順
  1. cosが前，sinが後ろになるように書き換えた上で，cos の係数である 1 と sin の係数である $\sqrt3$ の平方の和を計算し，正の平方根をとる．\[\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}=\sqrt4=2\]
  2. 手順1で求めた 2 で，式全体を無理矢理くくる．
    $\cos\theta+\sqrt3\sin\theta=2\left(\cos\theta\cdot\underline{\dfrac12}_{\mbox{①}}+\sin\theta\cdot\underline{\dfrac{\sqrt3}2}_{\mbox{②}}\right)$
  3. $\cos(\theta-\alpha)=\cos\theta\,\underline{\cos\alpha}_{\mbox{①}}\!\!+\sin\theta\,\underline{\sin\alpha}_{\mbox{②}}$ (cosの加法定理)の右辺と比較して，$\cos\alpha=\dfrac12$ (①)， $\sin\alpha=\dfrac{\sqrt3}2$ (②)となるような角 $\alpha$ を探すと，$\alpha=\dfrac\pi3$ が当てはまる．
  4. cosの加法定理で右辺から左辺の書き換えを行って完了．
    \[\begin{align*}\cos\theta+\sqrt3\sin\theta&=2\left(\cos\theta\cos\dfrac\pi3+\sin\theta\sin\dfrac\pi3\right)\\[5pt]&=2\cos\left(\theta-\dfrac\pi3\right)\end{align*}\]

　以上の流れを式だけで表すと次のようになる：

\[\begin{align*} (\mbox{左辺})&=\cos\theta+\sqrt3\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2}\left(\cos\theta\cdot\frac12+\sin\theta\cdot\frac{\sqrt3}2\right)\\[5pt] &=\sqrt{1+3}\left(\underline{\cos\theta\cdot\cos\frac\pi3+\sin\theta\cdot\sin\frac\pi3}\right)\\[5pt] &=2\,\underline{\cos\left(\theta-\frac\pi3\right)} \end{align*}\] 　　 ※　　　の部分で $\cos$ の加法定理を用いた．

　一般に \[\begin{align*} a\,&\sin\theta\!+\!b\cos\theta\\[5pt] &=b\cos\theta+a\sin\theta\\[5pt] &=\sqrt{b^2\!+\!a^2}\left(\!\cos\theta\!\cdot\!\frac b{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!+\!\sin\theta\!\cdot\!\frac a{\sqrt{a^2\!+\!b^2}}\!\right)\\[5pt] &=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta) \end{align*}\] 　ただし $\beta$ は， \[\cos\beta=\frac b{\sqrt{a^2+b^2}},\ \sin\beta=\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\] となる角である．

三角関数のcosでの合成公式\[a\sin\theta+b\cos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta-\beta)\]

ただし，$\sin\beta=\dfrac a{\sqrt{a^2+b^2}},\ \cos\beta=\dfrac b{\sqrt{a^2+b^2}}$

覚え方

　座標平面上に，$\cos$ の係数を $x$ 座標に，$\sin$ の係数を $y$ 座標にもつ点 $(b,a)$ をとり，原点Oと結ぶ．この線分の長さ(図の□)が合成したときの $\cos$ の係数であり，線分と $x$ 軸の正の向きとのなす角(図の△)が合成したときに用いる角である．

注意

　sin での合成と異なり，cosでの合成では

\[\sqrt{a^2+b^2}\cos(\theta\color{red}{\boldsymbol{-}}\beta)\]

と cos の中身を「マイナス」にして，上図の△の角を引かなければならない．これは cos の合成公式が，cos の加法定理である

\[\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta=\cos(\alpha\color{red}{\boldsymbol{-}}\beta)\]

を根拠に導かれたことによっている．この式の右辺の「マイナス」がそれを指す．

例題　次の式を $r\cos(\theta-\alpha)$ の形に変形せよ．ただし，$r>0$，$-\pi<\alpha<\pi$ とする．
(1)　$-\sqrt3\sin\theta+\cos\theta$
(2)　$-\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$
(3)　$\sqrt3\sin\theta-\cos\theta$

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