8. 三角関数の応用(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅱ　第4章　三角関数

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2. 一般角の三角関数	[無料]
3. 三角関数の性質	[無料]
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6. 三角関数の種々の公式	[会員]
7. 三角関数の合成	[会員]
8. 三角関数の応用	[会員]

8.1　応用例題1

　$f(\theta)=3\sin\theta\cos\theta+\sin\theta+\cos\theta$ のとき，$f(\theta)$の最大値，最小値を求めよ．

ポイント
　$\sin \theta+\cos\theta=t$ とおく．
　　→　$\sin\theta\cos\theta$ も $t$ で表せる．

　$\sin\theta+\cos\theta=t$ とおくと， \[\begin{align*} t^2&=(\sin\theta+\cos\theta)^2\\[5pt] &=1+2\sin\theta\cos\theta\\[5pt] &\ (\because \sin^2\theta+\cos^2\theta=1)\\[5pt] \end{align*}\] \[\therefore \sin\theta\cos\theta=\frac{t^2-1}2\] よって， \[\begin{align*} f(\theta)&=3\cdot\frac{t^2-1}2+t\\[5pt] &=\frac32t^2+t-\frac32\\[5pt] &=\frac32\left(t+\frac13\right)^2-\frac53 \end{align*}\] 　ここで， \[t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin\left(\theta+\frac\pi4\right)\] により，$-\sqrt2\leqq t\leqq \sqrt2$ であるから，$f(\theta)$ は，
　　$\boldsymbol{t=\sqrt2}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac32+\sqrt2}$
　　$\boldsymbol{t=-\dfrac13}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{-\dfrac53}$
をとる．

補足

　最大値や最小値を実現する $\theta$ の値が簡単に求まる場合は，求めておくのが一般的であるが，本問のように最大・最小のどちらか一方でも $\theta$ の値が求まらないケースでは，最大・最小とも $\theta$ までさかのぼらないのが通例である．

最大値

　$t=\sqrt 2$，即ち $\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=\sqrt2$ のとき， \[\begin{align*} \sin\left(\theta+\frac\pi4\right)&=1\\[5pt] \therefore \theta+\frac\pi4&=\frac\pi2+2n\pi\ (n\mbox{は整数})\\[5pt] \therefore \theta&=\frac\pi4+2n\pi \end{align*}\] (最大値を実現する $\theta$ を式で表せる．)

最小値

　$t=-\dfrac13$ 即ち $\sqrt2\sin\left(\theta+\dfrac\pi4\right)=-\dfrac13$ のとき， \[\begin{align*} \sin\left(\theta+\frac\pi4\right)&=-\frac1{3\sqrt2}\\[5pt] \therefore \theta+\frac\pi4&=??? \end{align*}\] (最小値を実現する $\theta$ を式で表せない．)

8.2　応用例題2

　$y=2\sin^2x-\sin x\cos x+3\cos^2x$ の最大値，最小値を求めよ．

ポイント
① $\sin^2 \theta,\ \cos^2\theta$ は $\cos2\theta$ の式に．
② $\sin\theta\cos\theta$ は $\sin2\theta$ の式に．
⇓
三角関数の合成公式で1つに．

　半角の公式により， \[\begin{align*} \sin^2x&=\frac{1-\cos2x}2\\[5pt] \cos^2x&=\frac{1+\cos2x}2 \end{align*}\] 　また，2倍角の公式により， \[\begin{align*} \sin2x&=2\sin x\cos x\\[5pt] \therefore \sin x\cos x&=\frac{\sin2x}2 \end{align*}\] 　これらを与式に代入すると， \[\begin{align*} y&=2\cdot\frac{1-\cos2x}2-\frac{\sin2x}2+3\cdot\frac{1+\cos2x}2\\[5pt] &=-\frac12\sin2x+\frac12\cos2x+\frac52\\[5pt] &=\frac{\sqrt2}2\sin\left(2x+\frac34\pi\right)+\frac52 \end{align*}\]

(i) $\sin\left(2x+\dfrac34\pi\right)=1$ のとき \[\begin{align*} 2x+\frac34\pi&=\frac\pi2+2n\pi\ (n\mbox{は整数})\\[5pt] \therefore x&=-\frac\pi8+n\pi \end{align*}\] 　このとき， \[y=\frac{\sqrt2}2\cdot1+\frac52=\frac{5+\sqrt2}2\]

(ii) $\sin\left(2x+\dfrac34\pi\right)=-1$ のとき \[\begin{align*} 2x+\frac34\pi&=\frac32\pi+2n\pi\ (n\mbox{は整数})\\[5pt] \therefore x&=\frac38\pi+n\pi \end{align*}\] 　このとき， \[y=\frac{\sqrt2}2\cdot(-1)+\frac52=\frac{5-\sqrt2}2\]

　以上により，$n$ を整数として，
　　$\boldsymbol{x=-\dfrac\pi8+n\pi}$ のとき，最大値 $\boldsymbol{\dfrac{5+\sqrt2}2}$
　　$\boldsymbol{x=-\dfrac38\pi+n\pi}$ のとき，最小値 $\boldsymbol{\dfrac{5-\sqrt2}2}$

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