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高校数学ノート[総目次]

数学Ⅱ 第4章 三角関数

スライド↓     ノート↓
1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
4. 三角関数のグラフ      【ノート
5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

5.1 sin, cos の加法定理

\begin{align*} &[1]\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[5pt] &[2]\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[5pt] &[3]\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[5pt] &[4]\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align*}

証明

[4]

 P$(\cos\alpha,\sin\alpha)$,Q$(\cos\beta,\sin\beta)$ とおく.

 距離の公式により, \[\begin{align*} {\rm PQ}^2&=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\[5pt] &=2\{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\} \end{align*}\]

 ここで,P,Qを原点を中心に $-\beta$ だけ回転した点をそれぞれP$’$,Q$’$ とすると,${\rm P}'(\cos(\alpha-\beta ),\sin(\alpha-\beta))$,${\rm Q}'(1,0)$ となる:

 再び距離の公式により, \[\begin{align*} {\rm P’Q’}^2&=\{\cos(\alpha-\beta)-1\}^2+\{\sin(\alpha-\beta)-0\}^2\\[5pt] &=2\{1-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*}\]  ${\rm PQ^2=P’Q’^2}$ により, \[2\{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\}=2\{1-\cos(\alpha-\beta)\}\]  整理して \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]

[3]

 [4] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると, \[\begin{align*} \cos\{\alpha-(-\beta)\}&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\[5pt] \therefore \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta \end{align*}\]

[1]

 [3] で $\alpha$ を $\alpha+\dfrac\pi2$ におきかえると, \[\begin{align*} \cos\left\{\!\left(\!\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!+\!\beta\right\}\!&=\cos\left(\!\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!\cos\beta\!-\!\sin\left(\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!\sin\beta\\[5pt] \therefore -\sin(\alpha+\beta)&=-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[5pt] \therefore \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta \end{align*}\]

[2]

 [1] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると, \[\begin{align*} \sin\{\alpha+(-\beta)\}&=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\[5pt] \therefore \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta \end{align*}\]

\[\begin{align*} \sin\frac7{12}\pi&=\sin\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)\\[5pt] &=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4+\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[5pt] &=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac1{\sqrt2}+\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}} \end{align*}\]

\[\begin{align*} \cos\frac7{12}\pi&=\cos\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)\\[5pt] &=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[5pt] &=\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac1{\sqrt2}\\[5pt] &=\underline{\boldsymbol{\frac{\sqrt2+\sqrt6}4}} \end{align*}\]

5.2 tan の加法定理

\begin{align*} &[1]\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &[2]\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ \end{align*}

証明

\[\begin{align*} \tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\[5pt] &=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\[5pt] &=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[5pt] &=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{align*}\]  $\beta$ を $-\beta$ におきかえると, \[\begin{align*} \tan\{\alpha+(-\beta)\}&=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}\\[5pt] \therefore \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \end{align*}\]

5.3 直線の傾きと tan

 直線 $y=mx$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると,$\tan\theta$ の値は,「2.2 単位円における三角関数」で確認したように2直線 $y=mx$ と $x=1$ との交点の $y$ 座標として現れる:

$\tan\theta=m$
(ただし,$0\leqq\theta< \pi,\theta\neq\dfrac\pi2)$

 このとき,直線 $y=mx$ に平行である直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角も $\theta$ であるから,一般に次が成り立つ:

直線の傾きとtan  直線 $y=mx+n$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角を $\theta$ とすると, \[\tan\theta=m\] \[(\mbox{ただし,}0\leqq\theta< \pi,\theta\neq\dfrac\pi2)\]

5.4 2直線のなす鋭角

 2直線 $y\!=\!m_1x\!+\!n_1, \ y\!=\!m_2x\!+\!n_2$ のなす鋭角を $\theta$ とすると,\[\tan\theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right|\]

証明

 2直線 $y=m_1x+n_1$,$y=m_2x+n_2$ と $x$ 軸の正の向きとのなす角をそれぞれ $\theta_1$,$\theta_2$ (ただし,$0\leqq\theta< \pi,\theta\neq\dfrac\pi2)$ とすると, \[\tan\theta_1=m_1,\ \tan\theta_2=m_2\] である.
 ここで,$\theta_1-\theta_2=A$ とおくと,2直線のなす鋭角 $\theta$,及び $\tan\theta$ は,$A$ の値によって次の4通りに場合分けされる:

 $[1]\ 0\leqq A\!<\!\dfrac\pi2$ のとき,$\theta\!=\!A$ \[\therefore \tan\theta\!=\!\tan A\]  $[2]\ \dfrac\pi2\!<\! A\!<\!\pi$ のとき,$\theta\!=\!\pi\!-\!A$ \[\therefore \tan\theta\!=\!\tan(\pi\!-\!A)\!=\!-\tan A\]  $[3]\ -\dfrac\pi2\!<\! A\!<\!0$ のとき,$\theta\!=\!-A$ \[\therefore \tan\theta\!=\!\tan(-A)\!=\!-\tan A\]  $[4]\ -\pi\!<\! A\!<\!-\dfrac\pi2$ のとき,$\theta\!=\!\pi\!+\!A$ \[\therefore \tan\theta\!=\!\tan(\pi\!+\!A)\!=\!\tan A\]

 上のいずれの場合も, \[\tan\theta=|\tan A|\] であるから, \[\begin{align*} \tan\theta&=|\tan A|\\[5pt] &=|\tan(\theta_1-\theta_2)|\\[5pt] &=\left|\frac{\tan\theta_1-\tan\theta_2}{1+\tan\theta_1\tan\theta_2}\right|\\[5pt] &=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right| \end{align*}\]


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1. 一般角と弧度法 無料   【ノート
2. 一般角の三角関数 無料  【ノート
3. 三角関数の性質 無料   【ノート
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5. 三角関数の加法定理     【ノート
6. 三角関数の種々の公式    【ノート
7. 三角関数の合成       【ノート
8. 三角関数の応用       【ノート
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