高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第4章 三角関数
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 一般角と弧度法 | |||
| 2. 一般角の三角関数 | |||
| 3. 三角関数の性質 | |||
| 4. 三角関数のグラフ | |||
| 5. 三角関数の加法定理 | |||
| 6. 三角関数の種々の公式 | |||
| 7. 三角関数の合成 | |||
| 8. 三角関数の応用 |
5．三角関数の加法定理
5.1 sin, cos の加法定理
\begin{align*} &[1]\ \sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta\\[5pt] &[2]\ \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[5pt] &[3]\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta\\[5pt] &[4]\ \cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta \end{align*}
証明
[4]
P$(\cos\alpha,\sin\alpha)$，Q$(\cos\beta,\sin\beta)$ とおく．
距離の公式により， \[\begin{align*} {\rm PQ}^2&=(\cos\alpha-\cos\beta)^2+(\sin\alpha-\sin\beta)^2\\[5pt] &=2\{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\} \end{align*}\]
ここで，P，Qを原点を中心に $-\beta$ だけ回転した点をそれぞれP$’$，Q$’$ とすると，${\rm P}'(\cos(\alpha-\beta ),\sin(\alpha-\beta))$，${\rm Q}'(1,0)$ となる：
再び距離の公式により， \[\begin{align*} {\rm P’Q’}^2&=\{\cos(\alpha-\beta)-1\}^2+\{\sin(\alpha-\beta)-0\}^2\\[5pt] &=2\{1-\cos(\alpha-\beta)\} \end{align*}\] ${\rm PQ^2=P’Q’^2}$ により， \[2\{1-(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta)\}=2\{1-\cos(\alpha-\beta)\}\] 整理して \[\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\]
[3]
[4] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると，
\[\begin{align*}
\cos\{\alpha-(-\beta)\}&=\cos\alpha\cos(-\beta)+\sin\alpha\sin(-\beta)\\[5pt]
\therefore \cos(\alpha+\beta)&=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta
\end{align*}\]
[1]
[3] で $\alpha$ を $\alpha+\dfrac\pi2$ におきかえると，
\[\begin{align*}
\cos\left\{\!\left(\!\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!+\!\beta\right\}\!&=\cos\left(\!\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!\cos\beta\!-\!\sin\left(\alpha\!+\!\frac\pi2\right)\!\sin\beta\\[5pt]
\therefore -\sin(\alpha+\beta)&=-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta\\[5pt]
\therefore \sin(\alpha+\beta)&=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}\]
[2]
[1] で $\beta$ を $-\beta$ におきかえると， \[\begin{align*}
\sin\{\alpha+(-\beta)\}&=\sin\alpha\cos(-\beta)+\cos\alpha\sin(-\beta)\\[5pt]
\therefore \sin(\alpha-\beta)&=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta
\end{align*}\]
■
例
\[\begin{align*}
\sin\frac7{12}\pi&=\sin\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)\\[5pt]
&=\sin\frac\pi3\cos\frac\pi4+\cos\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[5pt]
&=\frac{\sqrt3}2\cdot\frac1{\sqrt2}+\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{\frac{\sqrt6+\sqrt2}4}}
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\cos\frac7{12}\pi&=\cos\left(\frac\pi3+\frac\pi4\right)\\[5pt]
&=\cos\frac\pi3\cos\frac\pi4-\sin\frac\pi3\sin\frac\pi4\\[5pt]
&=\frac12\cdot\frac1{\sqrt2}-\frac{\sqrt3}2\cdot\frac1{\sqrt2}\\[5pt]
&=\underline{\boldsymbol{\frac{\sqrt2+\sqrt6}4}}
\end{align*}\]
5.2 tan の加法定理
\begin{align*} &[1]\ \tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}\\ &[2]\ \tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}\\ \end{align*}
証明
\[\begin{align*}
\tan(\alpha+\beta)&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)}\\[5pt]
&=\frac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta}\\[5pt]
&=\frac{\frac{\sin\alpha\cos\beta}{\cos\alpha\cos\beta}+\frac{\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}{1-\frac{\sin\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}}\\[5pt]
&=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}\]
$\beta$ を $-\beta$ におきかえると，
\[\begin{align*}
\tan\{\alpha+(-\beta)\}&=\frac{\tan\alpha+\tan(-\beta)}{1-\tan\alpha\tan(-\beta)}\\[5pt]
\therefore \tan(\alpha-\beta)&=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
\end{align*}\]
■
5.3 直線の傾きと tan
