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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

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1.微分係数と導関数 無料     【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小         【ノート
11. 関数のグラフ           【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

9.関数の値の変化

9.1 関数の増減

 閉区間 $[a,b]$ において,$a\leqq x_1<x_2\leqq b$ を満たすどんな $x_1,\,x_2$ についても, \[ f(x_1)<f(x_2)\] が成り立つとき,$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で単調に増加するという.
 (単調に減少する場合も同様に定義される.)

9.2 関数の値の変化と導関数

 関数 $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であるとする.このとき,次が成り立つ:

導関数の符号と単調性[1] 区間 $(a,\ b)$ で常に$f'(x)>0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$は区間 $[a,\ b]$ で単調に増加する.
[2] 区間 $(a,\ b)$ で常に $f'(x)<0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は区間 $[a,\ b]$ で単調に減少する.
[3] 区間 $(a,\ b)$ で常に $f'(x)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は区間 $[a,\ b]$ で定数である.

証明

[1]

 任意の $x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1<x_2$ をとる:

$a\leqq x_1<x_2\leqq b$
($a=x_1$,または $x_2=b$ かもしれないことに注意)

 $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であったから,その一部である閉区間 $[x_1,x_2]$ で連続,開区間 $(x_1,x_2)$ でも微分可能.従って平均値の定理により, \[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\ \ (x_1< c< x_2)\] を満たす $c$ が存在する.$f(x)$ は開区間 $(a,b)$ で常に $f'(x)>0$ であったから,その一部である開区間 $(x_1,x_2)$ でも常に $f'(x)>0$.従って $f'(c)>0$.故に, \[f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0\] \[\therefore f(x_2)>f(x_1)\]  従って[1]が示された.

[2]

 [1] と同様に示される.

[3]

 任意の $x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1<x_2$ について,平均値の定理の右辺が常に0であるから, \[f(x_1)=f(x_2)\]  ここで,$x_1$ を $a$ に固定しておくと,任意の $x_2\in(a,b]$ について, \[f(a)=f(x_2)\] となる.従って $f(x)$ はこの区間で定数関数である.

注意

 開区間 $(a,b)$ で $f'(x) > 0$ であれば,この区間で単調に増加するのは当然として,この定理は両端も含めての単調性を主張している.

例題 $e^x > x+1\ (x>0)$ を示せ.

 $f(x)=e^x-(x+1)$ とおき,$f(x)>0\ (x>0)$ を示す. \[f'(x)=e^x-1>0\ (\because x>0)\]  よって,$f(x)$ は $x\geqq0$ で単調に増加するから, \[f(x)>f(0)=0\]

補足

 $f'(x)\geqq0,\ f'(x)\leqq0$ (不等号の下に「$=$」がつく)場合について.
 開区間 $(a,b)$ で $a < c < b$ なる $c$ でのみ $f'(c)=0$ で,残りの値では常に $f'(x) > 0$ となるならば,閉区間 $[a,c]$ と $[c,b]$ で $f(x)$ は単調に増加するのであるから,2つの閉区間を結合した閉区間 $[a,b]$ においても $f(x)$ は単調に増加することがわかる.

補足の例

 $f(x)-x^3$ のとき,$f'(x)=3x^2\ (\,x\geqq0)$ により,増減表は次のようになる:

 従って $f(x)=x^3$ は実数全体で単調に増加する.

定理 $f(x),\ g(x)$ が閉区間 $[a,\ b]$ で連続で、開区間 $(a,\ b)$ で微分可能かつ常に $f'(x)=g'(x)$ ならば,閉区間 $[a,\ b]$ で \[ f(x)=g(x)+C\ \ (C\mbox{は定数}) \]

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと,$F(x)$は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であり,常に \[\begin{align*} F'(x)&=f'(x)-g'(x)\\ &=0\ \ \ \ (\because f'(x)=g'(x)\ ) \end{align*}\] であるから,この節冒頭の「導関数の符号と単調性」の定理により, \[F(x)=C\ (\mbox{定数})\]  従って, \[f(x)-g(x)=C\] \[\therefore f(x)=g(x)+C\]


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数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
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