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9.1 関数の増減

 閉区間$[a,b]$において,$a\leqq x_1<x_2\leqq b$を満たすどんな$x_1,x_2$についても, \[ f(x_1)<f(x_2)\] が成り立つとき,$f(x)$は閉区間$[a,b]$で単調に増加するという.
 (単調に減少する場合も同様に定義される.)

9.2 関数の値の変化と導関数

導関数の符号と単調性[1] 区間$(a,\ b)$で常に$f'(x)>0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$は区間$[a,\ b]$で単調に増加する.
[2] 区間$(a,\ b)$で常に$f'(x)<0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$は区間$[a,\ b]$で単調に減少する.
[3] 区間$(a,\ b)$で常に$f'(x)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$は区間$[a,\ b]$で定数である.

注意

 開区間$(a,b)$で$f'(x)>0$であれば,この区間で単調に増加するのは当然として,この定理は両端も含めての単調性を主張している.

 $e^x>x+1\ (x>0)$を示せ.

 $f(x)=e^x-(x+1)$とおき,$f(x)>0\ (x>0)$を示す. \[f'(x)=e^x-1>0\ (\because x>0)\]  よって,$f(x)$は$x\geqq0$で単調に増加するから, \[f(x)>f(0)=0\]

補足

 $f'(x)\geqq0,f'(x)\leqq0$(不等号の下に「$=$」がつく)場合について.
 開区間$(a,b)$で$a<c<b$なる$c$でのみ$f'(c)=0$で,残りの値では常に$f'(x)>0$となるならば,閉区間$[a,c]$と$[c,b]$で$f(x)$は単調に増加するのであるから,2つの閉区間を結合した閉区間$[a,b]$においても$f(x)$は単調に増加することがわかる.

補足の例

 $f(x)-x^3$のとき,$f'(x)=3x^2(x\geqq0)$により,増減表は次のようになる:

 従って$f(x)=x^3$は実数全体で単調に増加する.

定理 $f(x),\ g(x)$ が閉区間$[a,\ b]$ で連続で、開区間$(a,\ b)$ で微分可能かつ常に$f'(x)=g'(x)$ ならば,閉区間$[a,\ b]$ で \[ f(x)=g(x)+C\ \ (C\mbox{は定数}) \]

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$とおくと,$F(x)$は閉区間$[a,b]$で連続,開区間$(a,b)$で微分可能であり,常に \[\begin{align*} F'(x)&=f'(x)-g'(x)\\ &=0\ \ \ \ (\because f'(x)=g'(x)\ ) \end{align*}\] であるから,この節冒頭の「導関数の符号と単調性」の定理により, \[F(x)=C\ (\mbox{定数})\]  従って, \[f(x)-g(x)=C\] \[\therefore f(x)=g(x)+C\]