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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

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9.関数の値の変化

9.1 関数の増減

 閉区間 $[a,b]$ において,$a\leqq x_1<x_2\leqq b$ を満たすどんな $x_1,\,x_2$ についても, \[ f(x_1)<f(x_2)\] が成り立つとき,$f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で単調に増加するという.
 (単調に減少する場合も同様に定義される.)

9.2 関数の値の変化と導関数

 関数 $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であるとする.このとき,次が成り立つ:

導関数の符号と単調性[1] 区間 $(a,\ b)$ で常に$f'(x)>0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$は区間 $[a,\ b]$ で単調に増加する.
[2] 区間 $(a,\ b)$ で常に $f'(x)<0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は区間 $[a,\ b]$ で単調に減少する.
[3] 区間 $(a,\ b)$ で常に $f'(x)=0$ $\Longrightarrow$ $f(x)$ は区間 $[a,\ b]$ で定数である.

証明

[1]

 任意の $x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1<x_2$ をとる:

$a\leqq x_1<x_2\leqq b$
($a=x_1$,または $x_2=b$ かもしれないことに注意)

 $f(x)$ は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であったから,その一部である閉区間 $[x_1,x_2]$ で連続,開区間 $(x_1,x_2)$ でも微分可能.従って平均値の定理により, \[\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=f'(c)\ \ (x_1< c< x_2)\] を満たす $c$ が存在する.$f(x)$ は開区間 $(a,b)$ で常に $f'(x)>0$ であったから,その一部である開区間 $(x_1,x_2)$ でも常に $f'(x)>0$.従って $f'(c)>0$.故に, \[f(x_2)-f(x_1)=f'(c)(x_2-x_1)>0\] \[\therefore f(x_2)>f(x_1)\]  従って[1]が示された.

[2]

 [1] と同様に示される.

[3]

 任意の $x_1,x_2\in[a,b]$,$x_1<x_2$ について,平均値の定理の右辺が常に0であるから, \[f(x_1)=f(x_2)\]  ここで,$x_1$ を $a$ に固定しておくと,任意の $x_2\in(a,b]$ について, \[f(a)=f(x_2)\] となる.従って $f(x)$ はこの区間で定数関数である.

注意

 開区間 $(a,b)$ で $f'(x) > 0$ であれば,この区間で単調に増加するのは当然として,この定理は両端も含めての単調性を主張している.

例題 $e^x > x+1\ (x>0)$ を示せ.

 $f(x)=e^x-(x+1)$ とおき,$f(x)>0\ (x>0)$ を示す. \[f'(x)=e^x-1>0\ (\because x>0)\]  よって,$f(x)$ は $x\geqq0$ で単調に増加するから, \[f(x)>f(0)=0\]

補足

 $f'(x)\geqq0,\ f'(x)\leqq0$ (不等号の下に「$=$」がつく)場合について.
 開区間 $(a,b)$ で $a < c < b$ なる $c$ でのみ $f'(c)=0$ で,残りの値では常に $f'(x) > 0$ となるならば,閉区間 $[a,c]$ と $[c,b]$ で $f(x)$ は単調に増加するのであるから,2つの閉区間を結合した閉区間 $[a,b]$ においても $f(x)$ は単調に増加することがわかる.

補足の例

 $f(x)-x^3$ のとき,$f'(x)=3x^2\ (\,x\geqq0)$ により,増減表は次のようになる:

 従って $f(x)=x^3$ は実数全体で単調に増加する.

定理 $f(x),\ g(x)$ が閉区間 $[a,\ b]$ で連続で、開区間 $(a,\ b)$ で微分可能かつ常に $f'(x)=g'(x)$ ならば,閉区間 $[a,\ b]$ で \[ f(x)=g(x)+C\ \ (C\mbox{は定数}) \]

証明

 $F(x)=f(x)-g(x)$ とおくと,$F(x)$は閉区間 $[a,b]$ で連続,開区間 $(a,b)$ で微分可能であり,常に \[\begin{align*} F'(x)&=f'(x)-g'(x)\\ &=0\ \ \ \ (\because f'(x)=g'(x)\ ) \end{align*}\] であるから,この節冒頭の「導関数の符号と単調性」の定理により, \[F(x)=C\ (\mbox{定数})\]  従って, \[f(x)-g(x)=C\] \[\therefore f(x)=g(x)+C\]


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