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10.1 極大・極小

 関数$f(x)$は連続とする.
 $x=a$を含む開区間で,どんな$x\,(\neq a)$についても
  $f(a)>f(x)$のとき,$f(a)$を$f(x)$の極大値
  $f(a)<f(x)$のとき,$f(a)$を$f(x)$の極小値
という.また,極大値と極小値をあわせて極値という.

注意

 極大・極小は,微分可能性とは無関係である.例えば,関数$f(x)=|x|$ は,$x=0$ で微分可能ではないが,$x=0$ で極小となっている.

10.2 $f(a)$が極値であるための必要条件

 $f(x)$ が微分可能であるとき, \[ f(a)\mbox{が極値}\ \Longrightarrow\ f'(a)=0 \]

注意

 逆$(\Leftarrow)$は成り立たない.
 (反例) $f(x)=x^3$のとき,$f'(x)=3x^2$より$f'(0)=0$.しかるに$f(0)$は極値ではない.

10.3 $f(a)$が極値であるための十分条件

 $x=a$を含むある開区間で$f(x)$は微分可能かつ$f'(a)=0$のとき,
① $x\!<\!a$で$f'(x)\!>\!0,\ a\!<\!x$で$f'(x)\!<\!0\Rightarrow f(a)$は極大値
② $x\!<\!a$で$f'(x)\!<\!0,\ a\!<\!x$で$f'(x)\!>\!0\Rightarrow f(a)$は極小値

注意

 逆$(\Leftarrow)$は成り立たない.
 (反例) \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\left(\sin\dfrac1x+2\right)&(x\neq0\mbox{のとき})\\ 0&(x=0\mbox{のとき}) \end{array}\right.\]  この関数$f(x)$は$x\ne0$のとき, \[f'(x)=2x\left(\sin\frac1x+2\right)-\cos\frac1x\] であるから微分可能.また$x=0$でも微分可能で,$f'(0)=0$.実際, \[\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\left(\sin\frac1x+2\right)}x\\ &=\lim_{x\to0}x\left(\sin\dfrac1x+2\right)\\ &=0\ \ (\because\mbox{はさみうちの原理}) \end{align*}\]  また,$-1\leqq\sin\dfrac1x\leqq1$より$1\leqq\sin\dfrac1x+2\leqq3$であるから,$f(x)$のグラフは放物線$y=x^2$の上側かつ$y=3x^2$の下側となり,$f(0)=0$と定義されていることから$f(0)$は極小値である.
 ところが,$f(x)$は$x=0$の近くで$x^2$と$3x^2$の間を無限回振動するから,$f'(x)$の符号は$x<0$及び$x>0$それぞれで定符号ではない.

10.4 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$の極値

微分可能な関数$\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が,$x=a$ で極値をとるならば, \[ \frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\ \ \ \ (\mbox{ただし},g'(a)\neq 0)\]

証明

 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$とおくと, \[h'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\{g(a)\}^2}=0\] であるから, \[\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]

 $f(x)=\dfrac{4x+3}{x^2+1}$ の極値は?

\[\begin{align*} f'(x)&=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{-2(x+2)(2x-1)}{(x^2+1)^2} \end{align*}\]  よって増減表は次のようになる:

 ここで,$\dfrac{(4x+3)’}{(x^2+1)’}=\dfrac4{2x}=\dfrac2x$により,
  極小値:$f(-2)=\dfrac2{-2}=-1$
  極大値:$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac2{\frac12}=4$