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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

10.関数の極大・極小

10.1 極大・極小

 関数 $f(x)$ は連続とする.
 $x=a$ を含む開区間で,どんな $x\,(\neq a)$ についても
  $f(a)>f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極大値
  $f(a)<f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極小値
という.また,極大値と極小値をあわせて極値という.

注意

 極大・極小は,微分可能性とは無関係である.例えば,関数$f(x)=|x|$ は,$x=0$ で微分可能ではないが,$x=0$ で極小となっている.

10.2 $f(a)$ が極値であるための必要条件

 $f(x)$ が微分可能であるとき, \[ f(a)\mbox{が極値}\ \Longrightarrow\ f'(a)=0 \]

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
 (反例) $f(x)=x^3$ のとき,$f'(x)=3x^2$ より $f'(0)=0$.しかるに $f(0)$ は極値ではない.

10.3 $f(a)$ が極値であるための十分条件

 $x=a$ を含むある開区間で $f(x)$ は微分可能かつ $f'(a)=0$ のとき,
① $x\! < \!a$ で $f'(x)\! > \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! < \!0\Rightarrow f(a)$ は極大値
② $x\! < \!a$ で $f'(x)\! < \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! > \!0\Rightarrow f(a)$ は極小値

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
 (反例) \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\left(\sin\dfrac1x+2\right)&(x\neq0\mbox{のとき})\\ 0&(x=0\mbox{のとき}) \end{array}\right.\]  この関数 $f(x)$ は $x\ne0$ のとき, \[f'(x)=2x\left(\sin\frac1x+2\right)-\cos\frac1x\] であるから微分可能.また $x=0$ でも微分可能で,$f'(0)=0$.実際, \[\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\left(\sin\frac1x+2\right)}x\\ &=\lim_{x\to0}x\left(\sin\dfrac1x+2\right)\\ &=0\ \ (\because\mbox{はさみうちの原理}) \end{align*}\]  また,$-1\leqq\sin\dfrac1x\leqq1$ より $1\leqq\sin\dfrac1x+2\leqq3$ であるから,$f(x)$ のグラフは放物線 $y=x^2$ の上側かつ $y=3x^2$ の下側となり,$f(0)=0$ と定義されていることから $f(0)$ は極小値である.
 ところが,$f(x)$ は $x=0$ の近くで $x^2$ と $3x^2$ の間を無限回振動するから,$f'(x)$ の符号は $x < 0$ 及び $x > 0$ それぞれで定符号ではない.

10.4 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の極値

微分可能な関数 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が,$x=a$ で極値をとるならば, \[ \frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\ \ \ \ (\mbox{ただし},g'(a)\neq 0)\]

証明

 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ とおくと, \[h'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\{g(a)\}^2}=0\] であるから, \[\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]

 $f(x)=\dfrac{4x+3}{x^2+1}$ の極値は?

\[\begin{align*} f'(x)&=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{-2(x+2)(2x-1)}{(x^2+1)^2} \end{align*}\]  よって増減表は次のようになる:

 ここで,$\dfrac{(4x+3)’}{(x^2+1)’}=\dfrac4{2x}=\dfrac2x$ により,
  極小値:$f(-2)=\dfrac2{-2}=-1$
  極大値:$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac2{\frac12}=4$


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