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高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
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1. 微分係数と導関数 | [無料] | |
2. 合成関数の導関数 | [無料] | |
3. 逆関数の微分法 | [無料] | |
4. 三角関数の導関数 | [会員] | |
5. 対数関数・指数関数の導関数 | [会員] | |
6. 媒介変数表示と導関数 | [会員] | |
7. 陰関数の導関数 | [会員] | |
8. 平均値の定理 | [会員] | |
9. 関数の値の変化 | [会員] | |
10. 関数の極大・極小 | [会員] | |
11. 関数のグラフ | [会員] |
10.関数の極大・極小
10.1 極大・極小
関数 $f(x)$ は連続とする.
$x=a$ を含む開区間で,どんな $x\,(\neq a)$ についても
$f(a)>f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極大値
$f(a)<f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極小値
という.また,極大値と極小値をあわせて極値という.
注意
極大・極小は,微分可能性とは無関係である.例えば,関数$f(x)=|x|$ は,$x=0$ で微分可能ではないが,$x=0$ で極小となっている.
10.2 $f(a)$ が極値であるための必要条件
$f(x)$ が微分可能であるとき, \[ f(a)\mbox{が極値}\ \Longrightarrow\ f'(a)=0 \]
注意
逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
(反例) $f(x)=x^3$ のとき,$f'(x)=3x^2$ より $f'(0)=0$.しかるに $f(0)$ は極値ではない.
10.3 $f(a)$ が極値であるための十分条件
$x=a$ を含むある開区間で $f(x)$ は微分可能かつ $f'(a)=0$ のとき,
① $x\! < \!a$ で $f'(x)\! > \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! < \!0\Rightarrow f(a)$ は極大値
② $x\! < \!a$ で $f'(x)\! < \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! > \!0\Rightarrow f(a)$ は極小値
注意
逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
(反例)
\[f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x^2\left(\sin\dfrac1x+2\right)&(x\neq0\mbox{のとき})\\
0&(x=0\mbox{のとき})
\end{array}\right.\]
この関数 $f(x)$ は $x\ne0$ のとき,
\[f'(x)=2x\left(\sin\frac1x+2\right)-\cos\frac1x\]
であるから微分可能.また $x=0$ でも微分可能で,$f'(0)=0$.実際,
\[\begin{align*}
\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\left(\sin\frac1x+2\right)}x\\
&=\lim_{x\to0}x\left(\sin\dfrac1x+2\right)\\
&=0\ \ (\because\mbox{はさみうちの原理})
\end{align*}\]
また,$-1\leqq\sin\dfrac1x\leqq1$ より $1\leqq\sin\dfrac1x+2\leqq3$ であるから,$f(x)$ のグラフは放物線 $y=x^2$ の上側かつ $y=3x^2$ の下側となり,$f(0)=0$ と定義されていることから $f(0)$ は極小値である.
ところが,$f(x)$ は $x=0$ の近くで $x^2$ と $3x^2$ の間を無限回振動するから,$f'(x)$ の符号は $x < 0$ 及び $x > 0$ それぞれで定符号ではない.
10.4 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の極値
微分可能な関数 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が,$x=a$ で極値をとるならば, \[ \frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\ \ \ \ (\mbox{ただし},g'(a)\neq 0)\]
証明
$h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ とおくと, \[h'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\{g(a)\}^2}=0\] であるから, \[\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]
■
例題 $f(x)=\dfrac{4x+3}{x^2+1}$ の極値を求めよ.
\[\begin{align*} f'(x)&=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{-2(x+2)(2x-1)}{(x^2+1)^2} \end{align*}\] よって増減表は次のようになる:

ここで,$\dfrac{(4x+3)’}{(x^2+1)’}=\dfrac4{2x}=\dfrac2x$ により,
極小値:$f(-2)=\dfrac2{-2}=-1$
極大値:$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac2{\frac12}=4$
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数学Ⅲ 第2章 微分法
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