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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

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10.関数の極大・極小

10.1 極大・極小

 関数 $f(x)$ は連続とする.
 $x=a$ を含む開区間で,どんな $x\,(\neq a)$ についても
  $f(a)>f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極大値
  $f(a)<f(x)$ のとき,$f(a)$ を $f(x)$ の極小値
という.また,極大値と極小値をあわせて極値という.

注意

 極大・極小は,微分可能性とは無関係である.例えば,関数$f(x)=|x|$ は,$x=0$ で微分可能ではないが,$x=0$ で極小となっている.

10.2 $f(a)$ が極値であるための必要条件

 $f(x)$ が微分可能であるとき, \[ f(a)\mbox{が極値}\ \Longrightarrow\ f'(a)=0 \]

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
 (反例) $f(x)=x^3$ のとき,$f'(x)=3x^2$ より $f'(0)=0$.しかるに $f(0)$ は極値ではない.

10.3 $f(a)$ が極値であるための十分条件

 $x=a$ を含むある開区間で $f(x)$ は微分可能かつ $f'(a)=0$ のとき,
① $x\! < \!a$ で $f'(x)\! > \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! < \!0\Rightarrow f(a)$ は極大値
② $x\! < \!a$ で $f'(x)\! < \!0,\ a\! < \!x$ で $f'(x)\! > \!0\Rightarrow f(a)$ は極小値

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ は成り立たない.
 (反例) \[f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} x^2\left(\sin\dfrac1x+2\right)&(x\neq0\mbox{のとき})\\ 0&(x=0\mbox{のとき}) \end{array}\right.\]  この関数 $f(x)$ は $x\ne0$ のとき, \[f'(x)=2x\left(\sin\frac1x+2\right)-\cos\frac1x\] であるから微分可能.また $x=0$ でも微分可能で,$f'(0)=0$.実際, \[\begin{align*} \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}&=\lim_{x\to0}\dfrac{x^2\left(\sin\frac1x+2\right)}x\\ &=\lim_{x\to0}x\left(\sin\dfrac1x+2\right)\\ &=0\ \ (\because\mbox{はさみうちの原理}) \end{align*}\]  また,$-1\leqq\sin\dfrac1x\leqq1$ より $1\leqq\sin\dfrac1x+2\leqq3$ であるから,$f(x)$ のグラフは放物線 $y=x^2$ の上側かつ $y=3x^2$ の下側となり,$f(0)=0$ と定義されていることから $f(0)$ は極小値である.
 ところが,$f(x)$ は $x=0$ の近くで $x^2$ と $3x^2$ の間を無限回振動するから,$f'(x)$ の符号は $x < 0$ 及び $x > 0$ それぞれで定符号ではない.

10.4 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ の極値

微分可能な関数 $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ が,$x=a$ で極値をとるならば, \[ \frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\ \ \ \ (\mbox{ただし},g'(a)\neq 0)\]

証明

 $h(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}$ とおくと, \[h'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\{g(a)\}^2}=0\] であるから, \[\frac{f(a)}{g(a)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}\]

例題 $f(x)=\dfrac{4x+3}{x^2+1}$ の極値を求めよ.

\[\begin{align*} f'(x)&=\frac{4(x^2+1)-2x(4x+3)}{(x^2+1)^2}\\ &=\frac{-2(x+2)(2x-1)}{(x^2+1)^2} \end{align*}\]  よって増減表は次のようになる:

 ここで,$\dfrac{(4x+3)’}{(x^2+1)’}=\dfrac4{2x}=\dfrac2x$ により,
  極小値:$f(-2)=\dfrac2{-2}=-1$
  極大値:$f\left(\dfrac12\right)=\dfrac2{\frac12}=4$


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