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11.1 曲線の凹凸

 微分可能な関数のグラフを考える.
 ある区間で,
  接線の傾きが増加 $\to$ 下に凸という.
  接線の傾きが減少 $\to$ 上に凸という.

 例えばある区間で常に$f^{\prime\prime}(x)>0$ならば,$f'(x)$は単調に増加するから,$f(x)$の接線の傾きも増加していく.即ち,その区間でグラフは下に凸である.ある区間で常に$f^{\prime\prime}(x)<0$となる場合も同様.

まとめ 関数$f(x)$ が$f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき,
  常に$f^{\prime\prime}(x)\!>\!0$ である区間でグラフは下に凸である.
  常に$f^{\prime\prime}(x)<\!0$ である区間でグラフは上に凸である.

11.2 変曲点

 曲線の凹凸の境目を変曲点という.

定理 関数$f(x)$が$f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき, \[ \mbox{点}(a,\ f(a))\mbox{が変曲点}\ \ \Longrightarrow \ f^{\prime\prime}(a)=0 \]

証明

$x=a$を含むある区間において,$x=a$で上に凸から下に凸に変わるとする.
 $x\!<\!a$で$f^{\prime\prime}(x)<0$だから,$f'(x)$は$x\leqq a$で単調に減少する.また,$x\!>\!a$で$f^{\prime\prime}(x)>0$だから,$f'(x)$は$x\geqq a$で単調に増加する.
 従って$f'(a)$は$f'(x)$の極小値であるから,$f^{\prime\prime}(a)=0$.
 $x=a$で下に凸から上に凸に変わる場合も同様に示される.

注意

 逆$(\Leftarrow)$はいえない.
(反例)
 $f(x)=x^4$について,$f'(x)=4x^3$,$f^{\prime\prime}(x)=12x^2$であるから,$f^{\prime\prime}(0)=0$.しかし,点$(0,f(0))$は変曲点ではない.

11.3 漸近線の求め方

 関数$y=f(x)$のグラフにおいて,
[1] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$,または$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$
  $\to$ 直線$y=a$は漸近線.
[2] $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty$
又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$
  $\to$ 直線$x=a$は漸近線.
[3] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$,又は$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
  $\to$ 直線$y=ax+b$は漸近線.

補足

 [3]について,$y=ax+b$の$a$と$b$はどのようにしてわかるか?
 もし,$f(x)$のグラフが$x\to\infty$で直線$y=ax+b$に漸近するならば,次が成り立つ:

\[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,\ \ \ \ b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\} \]

証明

 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0\ \cdots$① のとき, \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}x=0\] \[\therefore\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a-\frac bx\right\}=0\] \[\therefore \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a\right\}=0\ \ (\because \frac bx\to0(x\to\infty))\] \[\therefore a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x\]  このようにして$a$が求まれば,①により, \[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}-b=0\] \[\therefore b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}\]

補足

 $x\to-\infty$のとき直線$y=ax+b$に漸近する場合も同様にして$a$と$b$を求めることができる.

$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ の漸近線を求めよ.

 まず,$x\to1+0$のとき,$f(x)\to\infty$により,直線$x=1$は漸近線.($x\to1\!-\!0$のとき,$f(x)\to-\infty$となり,こちらから述べるのでもよい.)
 次に, \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}=1,\] \[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\{f(x)-1x\}&=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x(x-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}\\ &=1 \end{align*}\] であるから,直線$y=x+1$は漸近線.

11.4 第2次導関数と極値

 $x=a$ を含むある区間で,$f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき,
[1] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)<0$ ならば,$f(a)$ は極大値
[2] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)>0$ ならば,$f(a)$ は極小値

証明

[1]の証明
 $f^{\prime\prime}(x)$は連続だから,$f^{\prime\prime}(a)<0$ならば,$x=a$の十分近くでは常に$f^{\prime\prime}(x)<0$となる.
 $f'(x)$の導関数$f^{\prime\prime}(x)$が常に$f^{\prime\prime}(x)<0$となるから,$x=a$の十分近くで$f'(x)$は単調に減少する.$f'(a)=0$だから,$f'(x)$の符号は,$x=a$の前後で正から負に転じる.即ち,$f(a)$は極大値である.
([2]も同様に証明される.)