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高校数学[総目次]

数学Ⅲ 第2章 微分法

  スライド ノート 問題
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10. 関数の極大・極小 [会員]    
11. 関数のグラフ [会員]    

11.関数のグラフ

11.1 曲線の凹凸

 微分可能な関数のグラフを考える.
 ある区間で,
  接線の傾きが増加 $\to$ 下に凸という.
  接線の傾きが減少 $\to$ 上に凸という.

 例えばある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) > 0$ ならば,$f'(x)$ は単調に増加するから,$f(x)$ の接線の傾きも増加していく.即ち,その区間でグラフは下に凸である.ある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる場合も同様.

まとめ 関数 $f(x)$ が $f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき,
  常に $f^{\prime\prime}(x)\!>\!0$ である区間でグラフは下に凸である.
  常に $f^{\prime\prime}(x)<\!0$ である区間でグラフは上に凸である.

11.2 変曲点

 曲線の凹凸の境目を変曲点という.

 $x=a$ を含むある区間において,$x=a$ で上に凸から下に凸に変わるとする.
 その区間内の $x<a$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0$,$x > a$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0$ だから,$f^{\prime\prime}(x)$ が連続ならば $f^{\prime\prime}(a)=0$
 $x=a$ で下に凸から上に凸に変わる場合も,同様の理由で $f^{\prime\prime}(a)=0$ となる.

定理 関数 $f(x)$ の第2次導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき, \[ \mbox{点}(a,\ f(a))\mbox{が変曲点}\ \ \Longrightarrow \ f^{\prime\prime}(a)=0 \]

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ はいえない.
(反例)
 $f(x)=x^4$ について,$f'(x)=4x^3$,$f^{\prime\prime}(x)=12x^2$ であるから,$f^{\prime\prime}(0)=0$.しかし,点$(0,f(0))$ は変曲点ではない.

11.3 漸近線の求め方

 関数 $y=f(x)$ のグラフにおいて,
[1] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$,または$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$
  $\to$ 直線 $y=a$ は漸近線.
[2] $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty$
又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$
  $\to$ 直線 $x=a$ は漸近線.
[3] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$,又は$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
  $\to$ 直線 $y=ax+b$ は漸近線.

補足

 [3]について,$y=ax+b$ の $a$ と $b$ はどのようにしてわかるか?
 もし,$f(x)$ のグラフが $x\to\infty$ で直線 $y=ax+b$ に漸近するならば,次が成り立つ:

\[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,\ \ \ \ b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\} \]

証明

 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0\ \cdots$① のとき, \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}x=0\] \[\therefore\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a-\frac bx\right\}=0\] \[\therefore \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a\right\}=0\ \ (\because \frac bx\to0(x\to\infty))\] \[\therefore a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x\]  このようにして $a$ が求まれば,①により, \[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}-b=0\] \[\therefore b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}\]

補足

 $x\to-\infty$ のとき直線 $y=ax+b$ に漸近する場合も同様にして $a$ と $b$ を求めることができる.

注意

 $\displaystyle{a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x}$ となる $a$ が存在しても,漸近線が存在するとは限らない.例えば $f(x)=x+\sqrt x$ のとき

\[\frac{f(x)}x=1+\frac1{\sqrt x}\to1\ \ (x\to\infty)\]

となるから $a=1$.然るに

\[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-x\}=\lim_{x\to\infty}\sqrt x=\infty\]

となるから,$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}$ は有限確定値とならない.別の例として $f(x)=\sin x$ とすれば,はさみうちの原理により $\dfrac {\sin x}x\to 0\ (x\to\infty)$ だが,サインカーブに漸近線はない.

 要するに $x\to\infty$ の場合では

曲線 $y=f(x)$ が直線 $y=ax+b$ を漸近線にもつ
$\iff \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
$\iff \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=b$
$\Longrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$
※最後は矢印が右向きだけであることに注意

なのであって,$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=b$ (有限確定値) が成り立って初めて直線 $y=ax+b$ が漸近線であるといえる訳である.

例題 $f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ の漸近線を求めよ.

 解答例を表示する

11.4 第2次導関数と極値

 $x=a$ を含むある区間で,$f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき,
[1] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)<0$ ならば,$f(a)$ は極大値
[2] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)>0$ ならば,$f(a)$ は極小値

証明

[1]の証明
 $f^{\prime\prime}(x)$ は連続だから,$f^{\prime\prime}(a) < 0$ ならば,$x=a$ の十分近くでは常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる.
 $f'(x)$ の導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が常に$f^{\prime\prime}(x) < 0$ となるから,$x=a$ の十分近くで $f'(x)$ は単調に減少する.$f'(a)=0$ だから,$f'(x)$ の符号は,$x=a$ の前後で正から負に転じる.即ち,$f(a)$ は極大値である.
([2]も同様に証明される.)

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