11. 関数のグラフ(ノート)
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数学Ⅲ　第2章　微分法

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11．関数のグラフ

11.1 曲線の凹凸

　微分可能な関数のグラフを考える．
　ある区間で，
　　接線の傾きが増加　$\to$　下に凸という．
　　接線の傾きが減少　$\to$　上に凸という．

　例えばある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) > 0$ ならば，$f'(x)$ は単調に増加するから，$f(x)$ の接線の傾きも増加していく．即ち，その区間でグラフは下に凸である．ある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる場合も同様．

まとめ　関数 $f(x)$ が $f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき，
　　常に $f^{\prime\prime}(x)\!>\!0$ である区間でグラフは下に凸である．
　　常に $f^{\prime\prime}(x)<\!0$ である区間でグラフは上に凸である．

11.2 変曲点

　曲線の凹凸の境目を変曲点という．

　$x=a$ を含むある区間において，$x=a$ で上に凸から下に凸に変わるとする．
　その区間内の $x<a$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0$，$x > a$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0$ だから，$f^{\prime\prime}(x)$ が連続ならば $f^{\prime\prime}(a)=0$
　$x=a$ で下に凸から上に凸に変わる場合も，同様の理由で $f^{\prime\prime}(a)=0$ となる．

定理　関数 $f(x)$ の第2次導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき， \[ \mbox{点}(a,\ f(a))\mbox{が変曲点}\ \ \Longrightarrow \ f^{\prime\prime}(a)=0 \]

注意

　逆 $(\Leftarrow)$ はいえない．
(反例)
　$f(x)=x^4$ について，$f'(x)=4x^3$，$f^{\prime\prime}(x)=12x^2$ であるから，$f^{\prime\prime}(0)=0$．しかし，点$(0,f(0))$ は変曲点ではない．

11.3 漸近線の求め方

　関数 $y=f(x)$ のグラフにおいて，
[1] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$，または$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$
　　$\to$ 直線 $y=a$ は漸近線．
[2] $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$，又は$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty$
又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$，又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$
　　$\to$ 直線 $x=a$ は漸近線．
[3] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$，又は$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
　　$\to$ 直線 $y=ax+b$ は漸近線．

補足

　[3]について，$y=ax+b$ の $a$ と $b$ はどのようにしてわかるか？
　もし，$f(x)$ のグラフが $x\to\infty$ で直線 $y=ax+b$ に漸近するならば，次が成り立つ：

\[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,\ \ \ \ b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\} \]

証明

　$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0\ \cdots$① のとき， \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}x=0\] \[\therefore\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a-\frac bx\right\}=0\] \[\therefore \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a\right\}=0\ \ (\because \frac bx\to0(x\to\infty))\] \[\therefore a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x\] 　このようにして $a$ が求まれば，①により， \[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}-b=0\] \[\therefore b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}\]

■

補足

　$x\to-\infty$ のとき直線 $y=ax+b$ に漸近する場合も同様にして $a$ と $b$ を求めることができる．

注意

　$\displaystyle{a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x}$ となる $a$ が存在しても，漸近線が存在するとは限らない．例えば $f(x)=x+\sqrt x$ のとき

\[\frac{f(x)}x=1+\frac1{\sqrt x}\to1\ \ (x\to\infty)\]

となるから $a=1$．然るに

\[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-x\}=\lim_{x\to\infty}\sqrt x=\infty\]

となるから，$\displaystyle b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}$ は有限確定値とならない．要するに $x\to\infty$ の場合では

曲線 $y=f(x)$ が直線 $y=ax+b$ を漸近線にもつ
$\iff \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
$\iff \displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=b$
$\Longrightarrow \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=a$
※最後は矢印が右向きだけであることに注意

なのであって，$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}=b$ (有限確定値) が成り立って初めて直線 $y=ax+b$ が漸近線であるといえる訳である．

例題　$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ の漸近線を求めよ．

　まず，$x\to1+0$ のとき，$f(x)\to\infty$ により，直線 $x=1$ は漸近線．
（ $x\to1\!-\!0$ のとき，$f(x)\to-\infty$ となり，こちらから述べるのでもよい．）
　次に， \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}=1,\] \[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\{f(x)-1x\}&=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x(x-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}\\ &=1 \end{align*}\] であるから，直線 $y=x+1$ は漸近線．

別解

　グラフが漸近線をもつ仮分数式では，(整式)＋(真分数式) に変形すると，漸近線が自然と出現する．

　$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}=x+1+\dfrac 1{x-1}$ であるから

\[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(x+1)\}=\lim_{x\to\infty}\dfrac 1{x-1}=0\]

　よって直線 $y=x+1$ は漸近線である．

11.4 第2次導関数と極値

　$x=a$ を含むある区間で，$f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき，
[1] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)<0$ ならば，$f(a)$ は極大値
[2] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)>0$ ならば，$f(a)$ は極小値

証明

[1]の証明
　$f^{\prime\prime}(x)$ は連続だから，$f^{\prime\prime}(a) < 0$ ならば，$x=a$ の十分近くでは常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる．
　$f'(x)$ の導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が常に$f^{\prime\prime}(x) < 0$ となるから，$x=a$ の十分近くで $f'(x)$ は単調に減少する．$f'(a)=0$ だから，$f'(x)$ の符号は，$x=a$ の前後で正から負に転じる．即ち，$f(a)$ は極大値である．
（[2]も同様に証明される．）

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