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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

11.関数のグラフ

11.1 曲線の凹凸

 微分可能な関数のグラフを考える.
 ある区間で,
  接線の傾きが増加 $\to$ 下に凸という.
  接線の傾きが減少 $\to$ 上に凸という.

 例えばある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) > 0$ ならば,$f'(x)$ は単調に増加するから,$f(x)$ の接線の傾きも増加していく.即ち,その区間でグラフは下に凸である.ある区間で常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる場合も同様.

まとめ 関数 $f(x)$ が $f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき,
  常に $f^{\prime\prime}(x)\!>\!0$ である区間でグラフは下に凸である.
  常に $f^{\prime\prime}(x)<\!0$ である区間でグラフは上に凸である.

11.2 変曲点

 曲線の凹凸の境目を変曲点という.

定理 関数 $f(x)$が$f^{\prime\prime}(x)$ をもつとき, \[ \mbox{点}(a,\ f(a))\mbox{が変曲点}\ \ \Longrightarrow \ f^{\prime\prime}(a)=0 \]

証明

$x=a$ を含むある区間において,$x=a$ で上に凸から下に凸に変わるとする.
 $x\!<\!a$ で $f^{\prime\prime}(x) < 0$ だから,$f'(x)$ は $x\leqq a$ で単調に減少する.また,$x\! > \!a$ で $f^{\prime\prime}(x) > 0$ だから,$f'(x)$ は $x\geqq a$ で単調に増加する.
 従って $f'(a)$ は $f'(x)$ の極小値であるから,$f^{\prime\prime}(a)=0$.
 $x=a$ で下に凸から上に凸に変わる場合も同様に示される.

注意

 逆 $(\Leftarrow)$ はいえない.
(反例)
 $f(x)=x^4$ について,$f'(x)=4x^3$,$f^{\prime\prime}(x)=12x^2$ であるから,$f^{\prime\prime}(0)=0$.しかし,点$(0,f(0))$ は変曲点ではない.

11.3 漸近線の求め方

 関数 $y=f(x)$ のグラフにおいて,
[1] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=a$,または$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$
  $\to$ 直線 $y=a$ は漸近線.
[2] $\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a+0}f(x)=-\infty$
又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=\infty$,又は$\displaystyle\lim_{x\to a-0}f(x)=-\infty$
  $\to$ 直線 $x=a$ は漸近線.
[3] $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$,又は$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0$
  $\to$ 直線 $y=ax+b$ は漸近線.

補足

 [3]について,$y=ax+b$ の $a$ と $b$ はどのようにしてわかるか?
 もし,$f(x)$ のグラフが $x\to\infty$ で直線 $y=ax+b$ に漸近するならば,次が成り立つ:

\[ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x,\ \ \ \ b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\} \]

証明

 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{f(x)-(ax+b)\}=0\ \cdots$① のとき, \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)-(ax+b)}x=0\] \[\therefore\lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a-\frac bx\right\}=0\] \[\therefore \lim_{x\to\infty}\left\{\frac{f(x)}x-a\right\}=0\ \ (\because \frac bx\to0(x\to\infty))\] \[\therefore a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x\]  このようにして $a$ が求まれば,①により, \[\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}-b=0\] \[\therefore b=\lim_{x\to\infty}\{f(x)-ax\}\]

補足

 $x\to-\infty$ のとき直線 $y=ax+b$ に漸近する場合も同様にして $a$ と $b$ を求めることができる.

$f(x)=\dfrac{x^2}{x-1}$ の漸近線を求めよ.

 まず,$x\to1+0$ のとき,$f(x)\to\infty$ により,直線 $x=1$ は漸近線.( $x\to1\!-\!0$ のとき,$f(x)\to-\infty$ となり,こちらから述べるのでもよい.)
 次に, \[\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}x=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}=1,\] \[\begin{align*} \lim_{x\to\infty}\{f(x)-1x\}&=\lim_{x\to\infty}\frac{x^2-x(x-1)}{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac x{x-1}\\ &=\lim_{x\to\infty}\frac1{1-\frac1x}\\ &=1 \end{align*}\] であるから,直線 $y=x+1$ は漸近線.

11.4 第2次導関数と極値

 $x=a$ を含むある区間で,$f^{\prime\prime}(x)$ が連続のとき,
[1] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)<0$ ならば,$f(a)$ は極大値
[2] $f^\prime(a)=0$ かつ $f^{\prime\prime}(a)>0$ ならば,$f(a)$ は極小値

証明

[1]の証明
 $f^{\prime\prime}(x)$ は連続だから,$f^{\prime\prime}(a) < 0$ ならば,$x=a$ の十分近くでは常に $f^{\prime\prime}(x) < 0$ となる.
 $f'(x)$ の導関数 $f^{\prime\prime}(x)$ が常に$f^{\prime\prime}(x) < 0$ となるから,$x=a$ の十分近くで $f'(x)$ は単調に減少する.$f'(a)=0$ だから,$f'(x)$ の符号は,$x=a$ の前後で正から負に転じる.即ち,$f(a)$ は極大値である.
([2]も同様に証明される.)


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