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3.1 逆関数の微分法

 関数$f(x)$に逆関数$f^{-1}$があるとする.
 $y=f(x)\iff x=f^{-1}(x)\ \cdots$①.この両辺を$x$で微分すると, \[1=\frac d{dx}f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{②}\]  合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \mbox{②の右辺}&=\frac d{dy}f^{-1}(y)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\ \ (\because\mbox{①}) \end{align*}\]  よって,②は \[\begin{gather*} 1=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\\ \therefore\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \end{gather*}\]

逆関数の微分法\[ \frac {dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \]

 $y=x^{\frac1n}\ (n$は自然数)のとき,$\dfrac{dy}{dx}$は?
 $y=x^{\frac1n}$より$x=y^n$ $\therefore\dfrac{dx}{dy}=ny^{n-1}$
 よって, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{ny^{n-1}}=\frac1ny^{1-n}\\ &=\frac1n\left(x^{\frac1n}\right)^{1-n}=\underline{\frac1nx^{\frac1n-1}} \end{align*}\]

 この例を用いて,以下の公式が示される:

公式 $r$が有理数のとき, \[ (x^r)’=rx^{r-1} \]

証明

 $r=\dfrac mn\ (m$は整数,$n$は自然数)とおくと, \[y=x^{\frac mn}=\left(x^{\frac1n}\right)^m\]  よって合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=m\left(x^{\frac1n}\right)^{m-1}\cdot\left(x^{\frac1n}\right)’\\ &=mx^{\frac mn-\frac1n}\cdot \underline{\frac1n x^{\frac 1n-1}}\ \ (\because\mbox{上の例})\\ &=\frac mn x^{\frac mn-1}\\ &=rx^{r-1} \end{align*}\]