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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

3.逆関数の微分法

3.1 逆関数の微分法

 関数 $f(x)$ に逆関数 $f^{-1}$ があるとする. \[y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{①}\]  この両辺を $x$ で微分すると, \[1=\frac d{dx}f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{②}\]  合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \mbox{②の右辺}&=\frac d{dy}f^{-1}(y)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\ \ (\because\mbox{①}) \end{align*}\]  よって,②は \[\begin{gather*} 1=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\\ \therefore\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \end{gather*}\]

逆関数の微分法\[ \frac {dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \]

例題 $y=x^{\frac1n}\ (\,n$ は自然数)のとき,$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ.

 $y=x^{\frac1n}$より$x=y^n$ $\therefore\dfrac{dx}{dy}=ny^{n-1}$
 よって, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{ny^{n-1}}=\frac1ny^{1-n}\\ &=\frac1n\left(x^{\frac1n}\right)^{1-n}=\underline{\frac1nx^{\frac1n-1}} \end{align*}\]

 この例題の結果を用いて,以下の公式が示される:

公式 $r$ が有理数のとき, \[ (x^r)’=rx^{r-1} \]

証明

 $r=\dfrac mn\ (\,m$ は整数,$n$ は自然数)とおくと, \[y=x^{\frac mn}=\left(x^{\frac1n}\right)^m\]  よって合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=m\left(x^{\frac1n}\right)^{m-1}\cdot\left(x^{\frac1n}\right)’\\ &=mx^{\frac mn-\frac1n}\cdot \underline{\frac1n x^{\frac 1n-1}}\ \ (\because\mbox{上の例題})\\ &=\frac mn x^{\frac mn-1}\\ &=rx^{r-1} \end{align*}\]


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