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高校数学[総目次]
数学Ⅲ 第2章 微分法
スライド | ノート | |
1. 微分係数と導関数 | [無料] | |
2. 合成関数の導関数 | [無料] | |
3. 逆関数の微分法 | [無料] | |
4. 三角関数の導関数 | [会員] | |
5. 対数関数・指数関数の導関数 | [会員] | |
6. 媒介変数表示と導関数 | [会員] | |
7. 陰関数の導関数 | [会員] | |
8. 平均値の定理 | [会員] | |
9. 関数の値の変化 | [会員] | |
10. 関数の極大・極小 | [会員] | |
11. 関数のグラフ | [会員] |
3.逆関数の微分法
3.1 逆関数の微分法
関数 $f(x)$ に逆関数 $f^{-1}$ があるとする. \[y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{①}\] この両辺を $x$ で微分すると, \[1=\frac d{dx}f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{②}\] 合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \mbox{②の右辺}&=\frac d{dy}f^{-1}(y)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\ \ (\because\mbox{①}) \end{align*}\] よって,②は \[\begin{gather*} 1=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\\ \therefore\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \end{gather*}\]
逆関数の微分法\[ \frac {dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \]
例題 $y=x^{\frac1n}\ (\,n$ は自然数)のとき,$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ.
$y=x^{\frac1n}$ より $x=y^n$ $\therefore\dfrac{dx}{dy}=ny^{n-1}$
よって, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{ny^{n-1}}=\frac1ny^{1-n}\\ &=\frac1n\left(x^{\frac1n}\right)^{1-n}=\underline{\frac1nx^{\frac1n-1}} \end{align*}\]
この例題の結果を用いて,以下の公式が示される:
公式 $r$ が有理数のとき, \[ (x^r)’=rx^{r-1} \]
証明
$r=\dfrac mn\ (\,m$ は整数,$n$ は自然数)とおくと, \[y=x^{\frac mn}=\left(x^{\frac1n}\right)^m\] よって合成関数の導関数により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=m\left(x^{\frac1n}\right)^{m-1}\cdot\left(x^{\frac1n}\right)’\\ &=mx^{\frac mn-\frac1n}\cdot \underline{\frac1n x^{\frac 1n-1}}\ \ (\because\mbox{上の例題})\\ &=\frac mn x^{\frac mn-1}\\ &=rx^{r-1} \end{align*}\]
■
例題 $y=\sin x\ (-\dfrac\pi2<x<\dfrac\pi2)$ の逆関数を $g(x)$ とするとき,$g'(x)$ を $x$ で表せ.
答$y=\sin x$ より $x=\sin y\ (-1<x<1)$.よって,逆関数の微分法により,
\[\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac 1{\frac{dx}{dy}}\\[5pt] &=\frac1{\cos y} \end{align}\]
ここで,$-\dfrac\pi2<y<\dfrac\pi2$ のとき,$\cos y>0$ であるから,
\[\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac 1{\sqrt{1-\sin^2y}}\\[5pt] &=\frac1{\sqrt{1-x^2}} \end{align}\]
\[\therefore \underline{\boldsymbol{ g'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}}}\]
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