3. 逆関数の微分法(ノート)
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第2章　微分法

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3．逆関数の微分法

3.1 逆関数の微分法

　関数 $f(x)$ に逆関数 $f^{-1}$ があるとする． \[y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{①}\] 　この両辺を $x$ で微分すると， \[1=\frac d{dx}f^{-1}(y)\ \cdots\mbox{②}\] 　合成関数の導関数により， \[\begin{align*} \mbox{②の右辺}&=\frac d{dy}f^{-1}(y)\cdot\frac{dy}{dx}\\ &=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\ \ (\because\mbox{①}) \end{align*}\] 　よって，②は \[\begin{gather*} 1=\frac{dx}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}\\ \therefore\frac{dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \end{gather*}\]

逆関数の微分法\[ \frac {dy}{dx}=\frac1{\frac{dx}{dy}} \]

例題　$y=x^{\frac1n}\ (\,n$ は自然数)のとき，$\dfrac{dy}{dx}$ を求めよ．

　$y=x^{\frac1n}$ より $x=y^n$　$\therefore\dfrac{dx}{dy}=ny^{n-1}$
　よって， \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac1{\frac{dx}{dy}}=\frac1{ny^{n-1}}=\frac1ny^{1-n}\\ &=\frac1n\left(x^{\frac1n}\right)^{1-n}=\underline{\frac1nx^{\frac1n-1}} \end{align*}\]

　この例題の結果を用いて，以下の公式が示される：

公式　$r$ が有理数のとき， \[ (x^r)’=rx^{r-1} \]

証明

　$r=\dfrac mn\ (\,m$ は整数，$n$ は自然数)とおくと， \[y=x^{\frac mn}=\left(x^{\frac1n}\right)^m\] 　よって合成関数の導関数により， \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=m\left(x^{\frac1n}\right)^{m-1}\cdot\left(x^{\frac1n}\right)’\\ &=mx^{\frac mn-\frac1n}\cdot \underline{\frac1n x^{\frac 1n-1}}\ \ (\because\mbox{上の例題})\\ &=\frac mn x^{\frac mn-1}\\ &=rx^{r-1} \end{align*}\]

■

例題　$y=\sin x\ (-\dfrac\pi2<x<\dfrac\pi2)$ の逆関数を $g(x)$ とするとき，$g'(x)$ を $x$ で表せ．

答

　$y=\sin x$ より $x=\sin y\ (-1<x<1)$．よって，逆関数の微分法により，

\[\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac 1{\frac{dx}{dy}}\\[5pt] &=\frac1{\cos y} \end{align}\]

　ここで，$-\dfrac\pi2<y<\dfrac\pi2$ のとき，$\cos y>0$ であるから，

\[\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\frac 1{\sqrt{1-\sin^2y}}\\[5pt] &=\frac1{\sqrt{1-x^2}} \end{align}\]

\[\therefore \underline{\boldsymbol{ g'(x)=\frac1{\sqrt{1-x^2}}}}\]

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