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5.1 自然対数の底$e$

数列$\{a_n\}$を \[a_n=\left(1+\frac1n\right)^n\] とすれば,$\displaystyle\lim_{n\to\infty}a_n$は収束することが知られていて, \[\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=2.71828\cdots(\mbox{無理数})\] となる:

$n$ が自然数のとき, \[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n=2.71828\cdots \]

補足

① 無理数2.71828$\cdots$を$e$で表す.
② $x$を実数として$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$や$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac1x\right)^x$も,同じく$e$に収束することが知られている:

 $x$ が実数のとき, \[ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e,\ \ \lim_{x\to-\infty}\left(1+\frac 1x\right)^x=e \]

③ 上の式で$\dfrac1x=h$とおくと次が成り立つ:

\[ \lim_{h\to 0}(1+h)^{\frac 1h}=e \]

5.2 対数関数の導関数

\[\begin{align*} (\log_ax)’&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_ax}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac1{\Delta x}\log_a\left(1+\frac{\Delta x}x\right)\ \ \cdots\mbox{①} \end{align*}\]  ここで$\dfrac{\Delta x}x=h$とおくと,$\Delta x\to0$のとき$h\to0$であるから, \[\begin{align*} \mbox{①}&=\lim_{h\to0}\frac1{xh}\log_a(1+h)\\ &=\frac1x\times\lim_{h\to 0}\log_a(1+h)^\frac1h\\ &=\frac1x\times\log_ae\\ &=\frac1{x\log_ea}\ \ (\because\mbox{底の変換公式}) \end{align*}\]  特に$a=e$のとき, \[(\log_ex)’=\frac1{x\log_ee}=\frac1x\]  $e$を底とする対数を自然対数といい,微積分では対数といえば通常自然対数を指す.また,底$e$は省略され,$\log x$と表す.

まとめ\[ (\log x)’=\frac 1x,\ \ \ \ \ (\log_ax)’=\frac 1{x\log a} \]

例1

 $y=\log(x^2+1)$のとき,$y’=\dfrac{2x}{x^2+1}$
 $\because)\ \left\{\begin{array}{l}y=\log u\\u=x^2+1\end{array}\right.$とすると,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac1u\cdot2x$

例2

 $y=\log kx\ (k\neq 0)$のとき,$y’=\dfrac1x$
 $\because)\ y’=\dfrac1{kx}\cdot(kx)’=\dfrac1x$

5.3 $y=\log|x|$の導関数

 $y=\log|x|=\left\{\begin{array}{ll} \log x & (x>0)\\ \log(-x) & (x<0) \end{array}\right.$であるから,すぐ上の例2により次が成り立つ:

\[ (\log|x|)’=\frac 1x,\ \ \ \ (\log_a|x|)’=\frac 1{x\log a}\]

 $y=\log|2x-1|$のとき,$y’=\dfrac{(2x-1)’}{2x-1}=\dfrac2{2x-1}$
$\left\{\begin{array}{l}y=\log|u|\\ u=2x-1 \end{array}\right.$ とすると,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=\dfrac1u\cdot2$

公式\[ \{\log|f(x)|\}’=\frac{f'(x)}{f(x)} \]

証明

$\left\{\begin{array}{l}y=\log|u|\\ u=f(x) \end{array}\right.$ とすると, \[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}=\frac1u\cdot f'(x)=\frac{f'(x)}{f(x)}\]

公式 $\alpha$が実数,$x>0$ のとき, \[(x^\alpha)’=\alpha x^{\alpha-1} \]

証明

 $y=x^\alpha$において,$x^\alpha>0$により,両辺の対数をとると, \[\log y=\alpha\log x\]  この両辺を$x$で微分して, \[\underline{\frac{y’}y}=\alpha\cdot\frac1x\ \ (\because\mbox{2つ上の公式})\] \[\therefore y’=\alpha\cdot\frac yx=\alpha\cdot\frac{x^\alpha}x=\alpha x^{\alpha-1}\]

補足

 $(x^A)’\ (A$は実数)は,$A$を
  自然数 (帰納法で示した.)
 →整数 (商の導関数で示した.)
 →有理数 (逆関数の導関数で示した.)
 →実数 (対数微分法(次節)で示した.)
の順で拡張してきた.

5.4 指数関数の導関数

 $a>0,a\neq1$のとき,$y=a^x$について,指数関数は常に正であるから,両辺の対数をとると, \[\log y=x\log a\]  この両辺を$x$で微分すると, \[\frac{y’}y=\log a\] \[\therefore y’=y\log a=a^x\log a\]  特に$a=e$のとき, \[(e^x)’=e^x\log e=e^x\]

まとめ\[ (e^x)’=e^x,\ \ (a^x)’=a^x\log a \]

 $y=e^{3x}$のとき,$y’=e^{3x}\cdot(3x)’=\underline{3e^{3x}}$
 $\left\{\begin{array}{l} y=e^u\\ u=3x \end{array}\right.$により,$\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}=e^u\cdot3=3e^{3x}$

補足 対数微分法

 $y=x^\alpha$や$y=a^x$の導関数を求める際,両辺の対数をとってから微分をしたが,このように対数をとってから微分する方法を対数微分法という.

対数微分法の例

 $y=\dfrac{x^2}{(x+1)^2(x-1)^3}$を微分せよ.

 与式の両辺の絶対値をとって, \[|y|=\left|\frac{x^2}{(x+1)^2(x-1)^3}\right|\]  両辺の対数をとると, \[\log|y|=\log\left|\frac{x^2}{(x+1)^2(x-1)^3}\right|\] \[\therefore \log|y|=2\log|x|-2\log|x+1|-3\log|x-1|\]  この両辺を$x$で微分すると, \[\frac{y’}y=\frac2x-\frac2{x+1}-\frac3{x-1}\] \[\begin{align*} \therefore y’&=y\left(\frac2x-\frac2{x+1}-\frac3{x-1}\right)\\ &=\frac{x^2}{(x+1)^2(x-1)^3}\cdot\frac{-3x^2-x-2}{x(x+1)(x-1)}\\ &=\underline{-\frac{x(3x^2+x+2)}{(x+1)^3(x-1)^4}} \end{align*}\]