2. 合成関数の導関数(ノート)
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数学Ⅲ　第2章　微分法

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2．合成関数の導関数

2.1 合成関数

　$x$ を1つ決めると $f(x)$ がただ1つ決まり，この $f(x)$ に応じて $g(f(x))$ がただ1つ定まるとき，$g(f(x))$ を $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数といい，$(g\circ f)(x)$ で表す．

注意

①　$g(x)$ の $x$ のところに $f(x)$ が入るから，$f(x)$ の値域が $g(x)$ の定義域に含まれていなければならない．
例　$f(x)=x-1,g(x)=\sqrt x$ のとき，
　　$(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x-1}\ \cdots
(*) $
　　よって $f(x)$ の値域が0以上 $(x\geqq1)$ のとき，$(*)$ は意味を持つ．
②　$(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ の違いに注意．
例　$f(x)=3x^2,\ g(x)=2x-1$のとき，
　　$(g\circ f)(x)=g(f(x))=2\cdot3x^2-1=6x^2-1$
　　$(f\circ g)(x)=f(g(x))=3(2x-1)^2$
③　$u=f(x),y=g(u)$ を合成した $y=g(f(x))$ は，$g(u)$ の $u$ が全て $f(x)$ に置き換わっているから $x$ の関数である．つまり $y=g(f(x))$ に文字 $u$ はない．

2.2 合成関数の導関数

　$f(x),g(x)$ が微分可能であるとする．$y=f(g(x))$ の導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を考えたい．
　$u=g(x)$ とおいて， \[\left\{\begin{array}{l} y=f(u)\\ u=g(x) \end{array}\right.\ \cdots\mbox{①}\] の合成と考えると次が成り立つ：

合成関数の導関数 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\]

証明

　$x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分を $\Delta u$ とおく： \[\Delta u=g(x+\Delta x)-g(u)\ \cdots\mbox{②}\] 　従って，$g(x+\Delta x)=u+\Delta u\ \cdots$③
　以上の準備の下で， \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}\ \ (\because\mbox{③,①})\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\ \cdots\mbox{④} \end{align*}\] 　ここで，$g(x)(=u)$ は微分可能，従って連続だから， \[\lim_{\Delta x\to0}g(x+\Delta x)=g(x)\] 　よって②により，$\Delta x\to0$ のとき $\Delta u\to 0$ となるから， \[\begin{align*} \mbox{④}&=\lim_{\Delta u\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{align*}\]

■

　$y=f(u),u=g(x)$ のとき，$\dfrac{dy}{du}=f'(u),\dfrac{du}{dx}=g'(x)$ により， \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=f'(u)g'(x)\\ &=f'(g(x))g'(x) \end{align*}\]

合成関数の導関数2\[ \Bigl\{f\bigl(g(x)\bigr)\Bigr\}’=f’\bigl(g(x)\bigr)g'(x) \]

例

$y=(1-2x)^3$ のとき， \[\frac{dy}{dx}=3(1-2x)^2\cdot(-2)=\underline{-6(1-2x)^2}\]

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