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高校数学ノート

数学Ⅲ 第2章 微分法

1.微分係数と導関数 無料    【ノート
2.合成関数の導関数  無料    【ノート
3.逆関数の微分法  無料     【ノート
4.三角関数の導関数        【ノート
5.対数関数・指数関数の導関数   【ノート
6.媒介変数表示と導関数      【ノート
7.陰関数の導関数         【ノート
8.平均値の定理          【ノート
9.関数の値の変化         【ノート
10. 関数の極大・極小        【ノート
11. 関数のグラフ          【ノート

2.合成関数の導関数

2.1 合成関数

 $x$ を1つ決めると $f(x)$ がただ1つ決まり,この $f(x)$ に応じて $g(f(x))$ がただ1つ定まるとき,$g(f(x))$ を $f(x)$ と $g(x)$ の合成関数といい,$(g\circ f)(x)$ で表す.

注意

① $g(x)$ の $x$ のところに $f(x)$ が入るから,$f(x)$ の値域が $g(x)$ の定義域に含まれていなければならない.
例 $f(x)=x-1,g(x)=\sqrt x$ のとき,
  $(g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x-1}\ \cdots
(*) $
  よって $f(x)$ の値域が0以上 $(x\geqq1)$ のとき,$(*)$ は意味を持つ.
② $(g\circ f)(x)$ と $(f\circ g)(x)$ の違いに注意.
例 $f(x)=3x^2,\ g(x)=2x-1$のとき,
  $(g\circ f)(x)=g(f(x))=2\cdot3x^2-1=6x^2-1$
  $(f\circ g)(x)=f(g(x))=3(2x-1)^2$
③ $u=f(x),y=g(u)$ を合成した $y=g(f(x))$ は,$g(u)$ の $u$ が全て $f(x)$ に置き換わっているから $x$ の関数である.つまり $y=g(f(x))$ に文字 $u$ はない.

2.2 合成関数の導関数

 $f(x),g(x)$ が微分可能であるとする.$y=f(g(x))$ の導関数 $\dfrac{dy}{dx}$ を考えたい.
 $u=g(x)$ とおいて, \[\left\{\begin{array}{l} y=f(u)\\ u=g(x) \end{array}\right.\ \cdots\mbox{①}\] の合成と考えると次が成り立つ:

合成関数の導関数 \[ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\]

証明

 $x$ の増分 $\Delta x$ に対する $u$ の増分を $\Delta u$ とおく: \[\Delta u=g(x+\Delta x)-g(u)\ \cdots\mbox{②}\]  従って,$g(x+\Delta x)=u+\Delta u\ \cdots$③
 以上の準備の下で, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(g(x+\Delta x))-f(g(x))}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta x}\ \ (\because\mbox{③,①})\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{\Delta u}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\ \cdots\mbox{④} \end{align*}\]  ここで,$g(x)(=u)$ は微分可能,従って連続だから, \[\lim_{\Delta x\to0}g(x+\Delta x)=g(x)\]  よって②により,$\Delta x\to0$ のとき $\Delta u\to 0$ となるから, \[\begin{align*} \mbox{④}&=\lim_{\Delta u\to0}\frac{f(u+\Delta u)-f(u)}{\Delta u}\cdot\lim_{\Delta x\to0}\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\\ &=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \end{align*}\]

 $y=f(u),u=g(x)$ のとき,$\dfrac{dy}{du}=f'(u),\dfrac{du}{dx}=g'(x)$ により, \[\begin{align*} \frac{dy}{dx}&=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx}\\ &=f'(u)g'(x)\\ &=f'(g(x))g'(x) \end{align*}\]

合成関数の導関数2\[ \Bigl\{f\bigl(g(x)\bigr)\Bigr\}’=f’\bigl(g(x)\bigr)g'(x) \]

$y=(1-2x)^3$ のとき, \[\frac{dy}{dx}=3(1-2x)^2\cdot(-2)=\underline{-6(1-2x)^2}\]


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数学Ⅲ 第2章 微分法

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