3. 無限級数【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

	スライド	ノート	問題
1. 数列の極限	[無料]
2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
5. 関数の極限
6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性

3．無限級数

3.0 無限級数とは

　数列$\{a_n\}$において， $$a_1+a_2+a_3+\cdots +a_n+a_{n+1}+\cdots$$ を無限級数といい，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$で表す．

疑問

　$a_n=(-1{)}^{n-1}$ のとき， $$1-1+1-1+1-\cdots$$ を考えると，
・$(1-1)+(1-1)+\cdots =0+0+\cdots =0$
・$1+(-1+1)+(-1+1)+\cdots =1+0+0\cdots =1$
など，足す順序によって極限が変わってくる．
　それでは ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ は一体何を意味するのであろうか．

3.1 無限級数の収束・発散

　数列$\{a_n\}$ の初めの $n$ 項の和 $a_1+a_2+\cdots +a_n$ を，第 $n$ 項までの部分和という．
　いま，部分和を $S_n$ とおいて，数列 $\{S_n\}$ を考える： $$\{S_n\}=\{S_1,S_2,S_3,\cdots \}$$ 　このとき $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n$$ が極限値 $S$ をもつとき，無限級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ は収束するといい，$S$ をこの無限級数の和という．
　$\{S_n\}$ が発散するとき，無限級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ は発散するという．

例

$$\frac{1}{1\cdot 2}+\frac{1}{2\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 4}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}+\cdots$$
　第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とすると， $$\begin{array}{rl}{S}_n& =(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})\\ & =1-\frac{1}{n+1}\end{array}$$ 　よって，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n=1}$．
　故に，この無限級数は収束し，和は1．

3.2 無限級数の性質

　数列$\{a_n\},\{b_n\}$ について，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n}}$ が収束し，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=S,}$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n=T}$ のとき，
①　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}k{a}_n=kS}$　（$k$ は定数）
②　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n+b_n)=S+T,{\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n-b_n)=S-T}}$
③　${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(k{a}_n+l{b}_n)=kS+lT}$　(ただし，$k,l$ は定数)

3.3 無限級数が収束するための必要条件

　無限級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とする． $$\begin{array}{rlc} S_n& =a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}+a_n& \\ -)S_{n-1}& =a_1+a_2+\cdots +a_{n-1}& (n\geqq 2)\\ S_n-S_{n-1}& =a_n\end{array}$$ $$\therefore a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqq 2)\cdots \text{①}$$

　いま，無限級数 ${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$ が収束して，$S_n\to S(n\to \mathrm{\infty })$ とすれば，①の両辺の極限を考えて， $$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}(S_n-S_{n-1})=S-S=0$$

まとめ 　無限級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n}$ が収束する　$⟹{\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$

注意

　逆，即ち$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0⟹\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{は収束}$$はいえない．

反例

　$a_n={\displaystyle \frac{1}{n}}$のとき，${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n=0}$．しかるに，${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n=\mathrm{\infty }}$．

　この命題の対偶も真なので，次が成立：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{a}_n\ne 0⟹\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\text{は発散する}$$

例1　$1-3+5-7+\cdots$

　$a_n=(-1{)}^{n-1}(2n-1)$ で，数列$\{a_n\}$ は0に収束しない．従って無限級数も収束しない．

例2　${\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{4}}+{\displaystyle \frac{3}{5}}+{\displaystyle \frac{4}{6}}+\cdots$

　$a_n={\displaystyle \frac{n}{n+2}}$ で，$a_n={\displaystyle \frac{1}{1+\frac{2}{n}}}\to 1(n\to \mathrm{\infty })$となって0に収束しない．従って無限級数も収束しない．

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