高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

  スライド ノート 問題
1. 数列の極限 [無料]    
2. 無限等比数列 [無料]    
3. 無限級数      
4. 無限等比級数      
5. 関数の極限      
6. (sin x)/x の極限      
7. 関数の連続性      

演習問題

問題１【発展】
　放物線 $y=x^2$ 上の右から原点に近付く点列 ${\rm A}_n(a_n,\ {a_n}^2)$ $(n=1,\ 2,\ \cdots)$ と， $x$ 軸上の右から原点に近付く点列 ${\rm B}_n(b_n,\ 0)$ $(n=1,\ 2,\ \cdots)$ があって，$\triangle{\rm A}_n{\rm B}_n{\rm B}_{n-1}$ はすべての $n=1,\ 2,\ \cdots$ に対し正三角形を成しており，$a_1=1$ であるとき，

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}^2$　および　$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}^3$

を求めよ．

(東工大)

問題１【発展】

　放物線 $y=x^2$ 上の右から原点に近付く点列 ${\rm A}_n(a_n,\ {a_n}^2)$ $(n=1,\ 2,\ \cdots)$ と， $x$ 軸上の右から原点に近付く点列 ${\rm B}_n(b_n,\ 0)$ $(n=1,\ 2,\ \cdots)$ があって，$\triangle{\rm A}_n{\rm B}_n{\rm B}_{n-1}$ はすべての $n=1,\ 2,\ \cdots$ に対し正三角形を成しており，$a_1=1$ であるとき，

$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}^2$　および　$\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}^3$

を求めよ．

(東工大)

　漸化式を立てるのは当然として，どのような漸化式を立てるかです．1本では足りないので複数本立てて連立漸化式を考える訳ですが，立てたあとに $\{a_n\}$ の一般項を求めようとすると泥沼にハマります．また出来た漸化式によっては解答までの見通しが立ちにくく，とりわけ $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty{a_n}^3$ の方は，閃いてしまえば何てことありませんが，多くの可能性からその解法を選び抜くには鋭い感覚が必要でしょう．

解答