4. 無限等比級数【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

	スライド	ノート	問題
1. 数列の極限	[無料]
2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
5. 関数の極限
6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性

4.1 無限等比級数の収束と発散

$$a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}+\cdots \cdots \text{①}$$を初項 $a$，公比 $r$ の無限等比級数という．

　①の第 $n$ 項までの部分和を $S_n$ とし，無限等比級数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{n-1}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{S}_n}$ を調べる．

$\underset{―}{a=0\text{のとき}}$ $$S_n=0+0+\cdots +0=0\to 0(n\to \mathrm{\infty })$$ $\underset{―}{a\ne 0\text{のとき}}$
　i) $|r|<1$ のとき
　　　$S_n={\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}\to {\displaystyle \frac{a}{1-r}}(n\to \mathrm{\infty })$
　　　よって，数列$\{S_n\}$ は収束．
　ii) $r=1$ のとき
$$S_n=a+a+\cdots +a=na.$$ 　　よって，$n\to \mathrm{\infty }$ のとき，$\{S_n\}$ は発散．
　iii) $r\leqq -1,1<r$ のとき
　　　$S_n={\displaystyle \frac{a(1-r^n)}{1-r}}$ で，$r^n$ が発散するから $\{S_n\}$ は発散．

まとめ 　無限等比級数${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}a{r}^{n-1}=a+ar+a{r}^2+\cdots }$（ただし，$a\ne 0$）は
　　$|r|<1$ のとき収束して，和は ${\displaystyle \frac{a}{1-r}}$．
　　$|r|\geqq 1$ のとき，発散．

4.2 無限等比級数と循環小数

Q.　$0.1\dot{2}\dot{3}=0.1232323\cdots$ を分数で表すと？
A.　$$\begin{array}{rl}0.1\dot{2}\dot{3}& =0.1+0.023+0.00023+0.0000023+\cdots \\ & =\frac{1}{10}+\underset{―}{\frac{23}{{10}^3}+\frac{23}{{10}^5}+\frac{23}{{10}^7}+\cdots }\\ & =\frac{1}{10}+\frac{\frac{23}{{10}^3}}{1-\frac{1}{{10}^2}}\\ & =\frac{1}{10}+\frac{23}{990}=\frac{122}{990}=\frac{61}{495}\end{array}$$ ※下線部分が，初項 ${\displaystyle \frac{23}{{10}^3}}$，公比 ${\displaystyle \frac{1}{{10}^2}}$ の無限等比級数になっている．

補足

$$\begin{array}{rl}x& =0.1232323\cdots \\ -)100x& =12.3232323\cdots \\ -99x& =-12.2\end{array}$$ $$\therefore x=\frac{12.2}{99}=\frac{61}{495}.$$

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2. 無限等比数列	[無料]
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6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性