6. (sin x)/xの極限【ノート】
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高校数学[総目次]

数学Ⅲ　第1章　極限

	スライド	ノート	問題
1. 数列の極限	[無料]
2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
5. 関数の極限
6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性

6.1 (sin x)/x の極限

重要 $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

注意

　角度は弧度法(ラジアン)を用いる．

証明

　$x\to 0$ のときを考えるから，$0<|x|<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ としてよい．
[1]　$0<x<{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ のとき

　図において， $$\begin{array}{c}\text{△OAB}<\text{扇形OAB}<\text{△OAC}\\ \therefore \frac{1}{2}\cdot 1^2\sin x<\frac{1}{2}\cdot 1^{2}x<\frac{1}{2}\cdot 1\tan x\\ \therefore \sin x<x<\tan x\end{array}$$ 　各辺を $\sin x(>0)$ で割ると， $$\begin{array}{rl}& 1<\frac{x}{\sin x}<\frac{1}{\cos x}\\ \therefore & 1>\frac{\sin x}{x}>\cos x(\text{逆数をとった})\end{array}$$ 　${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}\cos x=1}$ であるから，はさみうちの原理により，${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1.}$

[2]　$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<x<0$ のとき
$x=-\theta$ とおくと，$x\to -0$ のとき $\theta \to +0$であるから， $$\begin{array}{rl}\underset{x\to -0}{lim}\frac{\sin x}{x}& =\underset{\theta \to +0}{lim}\frac{\sin (-\theta )}{-\theta }\\ & =\underset{\theta \to +0}{lim}\frac{\sin \theta }{\theta }=1.(\because [1])\end{array}$$ 　[1]，[2] から ${\displaystyle \underset{x\to +0}{lim}\frac{\sin x}{x}=\underset{x\to -0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$となるから， $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1.$$

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補足

①　$x\to 0$ のとき，☆$\to 0$ ならば， $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin \text{☆}}{\text{☆}}=1$$ 　　例　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 5x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}(5\cdot \frac{\sin 5x}{5x})=5\cdot 1=5.}$
②　${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{1}{\frac{\sin x}{x}}=\frac{1}{1}=1}$ により， $$\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1.$$ ③　三角関数と多項式が同時に含まれた式の極限をとるとき，簡単にその極限がわからない場合の多くで，この ${\displaystyle \frac{\sin x}{x}}$ の極限が一枚かんでいることが多い．

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2. 無限等比数列	[無料]
3. 無限級数
4. 無限等比級数
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6. (sin x)/x の極限
7. 関数の連続性