高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
スライド | ノート | 問題 | |
1. 座標平面上の点 | |||
2. 直線の方程式 | |||
3. 円の方程式 | |||
4. 円と直線 | |||
5. 軌跡と方程式 | |||
6. 不等式と領域 |

4.円と直線
4.1 円と直線の位置関係
円と直線の位置関係には2つのアプローチの方法がある
円と直線の位置関係には次の3通りがある.

これらを次の2通りによって特徴付けする.
[1] 判別式
[2] 中心と直線の距離
例題 円C
[1] 判別式からのアプローチ
整理して
この2次方程式の解がもし実数なら,それは円と直線の共有点の
共有点の個数と実数解の個数は一致する.
この2次方程式を実際に解けばどのような解をもつかはもちろんわかるが,実数解の個数を調べるだけならそこまでしなくとも判別式で十分である.判別式を
よって,円と直線は異なる2点で交わる.
一般に,
円 :
直線:
の2式から
円と直線の位置関係[1] 円
[2] 中心と直線の距離からのアプローチ
円の中心
この値は円の半径である1より小さい.
よって,円と直線は異なる2点で交わる.
一般に,円の半径を

円と直線の位置関係[2] 半径
補足
この例からわかるように,円と直線の位置関係の問題では,「中心と直線の距離からのアプローチ」の方が,一般には計算が平易.

4.2 円の接線の方程式
円周上の点における接線の方程式は実に簡単に書ける
Q. 円
[1] Pが両軸上にないとき

右辺の分母を払って整理すると
Pは円周上の点であるから
[2] Pが軸上にあるとき

例えば,
以上をまとめると,円上の点Pにおける接線の方程式は,Pがその円のどこにあろうと次で書ける:
まとめ 円
この結果を見ると,円周上の点

発展的補足
円の中心が原点でない場合も接点が円周上なら接線の導き方はほぼ同じ
円の中心が原点でないときは,次のように全体を平行移動することで,中心が原点の場合に帰着される:

① 円の中心
円
点P:
② 円
③ 円
接線
円

例題1 円

例題2 円
解法1
方針
円上の点
→ これが点
(
解法2
方針
点
→ (中心と直線の距離)
補足
中心と直線の距離からのアプローチでは接点の 座標を経由しない
一般に円の接線は,解法2のように
(中心と直線の距離)
から求めるのが最も簡単になりやすいが,解法1ではその過程で接点の座標がオマケとして得られる.従って「接点の座標も求めよ」と問われた際には解法1が適する.解法2で接点の座標を求めるなら,次の発展的補足にある「極線」と接線を連立することで計算の負担を軽減するという手がないわけではない.
発展的補足
「極」線と呼ばれる直線について

円
直線
(すなわち直線
は,点
証明
点
点
同様に,点
①,②は2点
■

4.3 2円の交点を通る図形
2円の交点を通る図形の求め方には独特の上手いやり方がある
2つの円
また,
よって,これら
ここでやや唐突だが,
この式が何を表すかはさておき,とにかくこの式は
方程式①が表す図形は,2円
のである.この式を整理すると
となるから,①は
のとき,円を表す. のとき,①は となるから直線を表す.
一般に次が成り立つ:
2円の交点を通る図形

例題 円
(1) 2円
(2) 2円
(3) 2円
答
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