高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
| スライド | ノート | 問題 | |
| 1. 座標平面上の点 | |||
| 2. 直線の方程式 | |||
| 3. 円の方程式 | |||
| 4. 円と直線 | |||
| 5. 軌跡と方程式 | |||
| 6. 不等式と領域 |
1．座標平面上の点
演習問題
問題１【基本】
数直線上に2点A$(-2)$とB($8$)について，次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $1:2$ に内分する点P
(2) 線分ABを $3:2$に外分する点Q
(3) 線分BAを $2:3$に外分する点R
問題２【基本】
数直線上に3点A(1)、B(5)、C($x$)について，点Cが線分ABを $m:n$ に内分するとき，$x$ を $m$ と $n$ で表せ．また，点Cが線分ABの中点であるとき，$x$ の値を求めよ．
問題３【基本】
座標平面上に2点A$(2, 3)$ とB$(6, 1)$ がある．次の点の座標を求めよ．
(1) 線分ABを $3:1$ に内分する点P
(2) 線分ABの中点M
(3) 線分ABを $2:1$ に外分する点Q
問題４【基本】
3点A$(-1, 2)$, B$(3, -5)$, C$(4, 8)$を頂点とする三角形ABCの重心Gの座標を求めよ．
問題５【基本】
点A$(4, -7)$ と点P$(-2, 1)$ がある．点Aと点Pに関して対称な点Bの座標を求めよ．
問題６【基本】
座標平面上に3点 A$(1,\,3)$、B$(4,\,2)$、C$(2,\,6)$ がある．
(1) 線分ABの長さを求めよ．
(2) 三角形ABCはどのような三角形か．
解答
点Aの座標を $a = -2$，点Bの座標を $b = 8$ とします．
(1) 線分ABを $1:2$ に内分する点P
内分点の公式より，
\[\dfrac{n a + m b}{m + n}\]
ここで $m:n = 1:2$ なので，$m=1, n=2$ です．
\[\frac{2 \times (-2) + 1 \times 8}{1 + 2}=\frac{-4 + 8}{3}=\frac{4}{3}\]
よって，点Pの座標は $\displaystyle \frac{4}{3}$ です．
(2) 線分ABを $3:2$に外分する点Q
外分点の公式より，
\[\frac{-n a + m b}{m-n}\]
ここで $m:n = 3:2$ なので，$m=3, n=2$ です．
\[x = \frac{-2 \times (-2) + 3 \times 8}{3-2}=\frac{4 + 24}{1}=28\]
よって，点Qの座標は 28 です．
(3) 線分BAを $2:3$に外分する点R
Bを始点，Aを終点と考え，Bの座標を $b = 8$，Aの座標を $a = -2$ とします．
外分点の公式より，
\[\frac{-n b + m a}{m-n}\]
ここで $m=2, n=3$ です．
\[\frac{-3 \times 8 + 2 \times (-2)}{2-3}= \frac{-24 – 4}{-1} = 28\]
よって，点Rの座標は 28 です．