高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
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演習問題
問題１【発展】
放物線 $C:y=ax^2+x-b\ (a\ne0)$ と直線 $y=x$ が2つの異なる2つの交点をもつとする．
(1) 2つの交点を結ぶ線分を直径とする円の方程式を求めよ．
(2) 放物線 $C$ と(1)で求めた円の交点が4つあるための条件を求めよ．
(名古屋市立大・一部抜粋)
(1) 円の方程式を得るためには，円の中心と半径の情報が必要です．とりあえず交点の座標を求めてみましょう．(2)では，4次方程式を解くことになりますが，4つの解のうち2つは既にわかっているので因数分解が可能です．
解答
(1) $ax^2+x-b=x$ より $x^2=\dfrac ba$．放物線と直線が異なる2つの交点をもつから $\dfrac ba>0$ が必要で，このとき $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$．従って円の中心は原点であり，半径は $\sqrt{\dfrac{2b}a}$ である．よって求める円の方程式は
\[x^2+y^2=\dfrac{2b}a\]
(2) $y=ax^2+x-b$ を $x^2+y^2=\dfrac{2b}a$ に代入して $y$ を消去すると
\[x^2+(ax^2+x-b)^2=\dfrac{2b}a\]
右辺の分母を払って整理すると
\[a^2x^4+2ax^3+(2-2ab)x^2-2bx+b^2-\dfrac{2b}a=0\]
いかにも手ごわい方程式に見えますが，放物線 $C$ と直線 $y=x$ の交点の $x$ 座標である $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$ はこの方程式の解でもありますから，この方程式の左辺は $x=\pm\sqrt{\dfrac ba}$ を導く元となった $x^2=\dfrac ba$，即ち $ax^2-b=0$ の左辺を因数にもちます．ポイント①
(1)よりこの式の左辺は $ax^2-b$ を因数にもつから，実際に割って商を求めて因数分解すると
\[(ax^2-b)\left(\underline{ax^2+2x+\dfrac{2-ab}a}_{\mbox{①}}\right)=0\ \ \cdots(*)\]
題意はこの4次方程式が異なる4つの実数解をもつことと同値であるから，方程式①$=0$ の判別式を $D$ とすると $D>0$ が必要で，
\[D/4=1-(2-ab)>0\]
\[\therefore ab>1\]
ここからは方程式①$=0$ の解が $\pm\sqrt{\dfrac ba}$ と重なっていないかどうかをチェックします．このチェック方法は定石の1つとしてマスターしておきましょう．ポイント②
ここで，方程式①$=0$ が $\sqrt{\dfrac ba}$ 又は $-\sqrt{\dfrac ba}$ を解にもつとすれば，
\[a\cdot\frac ba\pm2\sqrt{\dfrac ba}+\dfrac{2-ab}a=0\]
\[b\pm2\sqrt{\dfrac ba}+\dfrac2a-b=0\]
\[\therefore\ \ \sqrt{\dfrac ba}=\pm\dfrac 1a\]
両辺を2乗して $ab=1$
故に， $ab>1$ であれば，4次方程式 $(*)$ は異なる4つの実数解をもつから，これが求める条件である．