高校数学[総目次]
数学Ⅱ 第3章 図形と方程式
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演習問題
問題１【発展】
$y=x^2+ax+b$ で表される放物線を $C_1$ とし，$C_1$ を直線 $y=x$ について対称移動した放物線を $C_2$ とする．2つの放物線 $C_1,\ C_2$ が異なる4つの交点をもつとき，この4点を通る円が存在することを示せ．
放物線 $C_1$ を直線 $y=x$ に関して対称移動した放物線 $C_2$ の方程式は， $x$ と $y$ を入れ替えて $x=ay^2+by+c$ です．
解答
$C_1$ の方程式を変形して $x^2+ax+b-y=0$．よって $C_2$ の方程式は $y^2+ay+b-x=0$ となる．いま $k$ を定数として
$x^2+bx+c-y+k(y^2+by+c-x)=0$
という式を作ると，この方程式によって表される図形は $k$ の値にかかわらず $C_1,\ C_2$ の4つの交点をすべて通る．そこで $k=1$ とおくと
$x^2+ax+b-y+(y^2+ay+b-x)=0$
整理すると
\[x^2+(a-1)x+y^2+(a-1)y+2b=0\]
\[\left(x+\dfrac{a-1}2\right)^2+\left(y+\dfrac{a-1}2\right)^2=\dfrac{(a-1)^2-4b}2\ \cdots(*)\]
ここで，$C_1$ と $C_2$ は異なる4点で交わるから，放物線 $C_1$ は直線 $y=x$ と2点で交わる．（さもなくば，$C_1$ と $C_2$ は高々1つの共有点しかもち得ない．) 従って $x^2+ax+b=x$，すなわち $x^2+(a-1)x+b=0$ の判別式を $D$ とすると $D>0$ であるから
\[(a-1)^2-4b>0\]
故に $(*)$ の右辺は正の定数となるから， $(*)$ は円の方程式を表す．以上により題意の円の存在が示された．
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