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高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

スライド↓     ノート↓
1. 集合 無料       【ノート
2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.

2.場合の数

2.1 樹形図

例題 1,2,3を1度ずつ用いて3桁の数は何通りできるか.

 図より,6通り…(答)

 上のような図を樹形図という.「…の場合は全部で何通りあるか」といった場合の数は,樹形図の最後の枝(破線で囲まれた部分)の本数に等しい.

2.2 和の法則

 さいころ1回投げ

 事柄A:2以下の目が出る.→1と2の2通り.
 事柄B:4以上の目が出る.→4,5,6の3通り.

 AまたはBが起こるのは,1,2,4,5,6 の5通りである.

 ところで,AとBは同時には起こらない.(さいころを1回投げたとき,2以下の目が出て,かつ4以上の目も出る,つまり,2つの目が同時に出るということはない.)
 このとき,AまたはBが起こる場合は, \[2+3=5(\mbox{通り})\] という具合に計算できる.

 一般に次が成り立つ:

和の法則 事柄 A, B は同時に起こらないとする. A の起こり方が $m$ 通り,B の起こり方が $n$ 通りあるとき,A または B の起こる場合は\[m+n\ \mbox{通り}\]

注意

 「同時に起こらない」という仮定は重要である.例えば,

 事柄A:2以下の目が出る → 1と2の2通り
 事柄B:偶数の目が出る → 2,4,6の3通り

とする.

 このとき,AまたはBが起こる場合は,

  $2+3=5$
  $2+3-1=4$

2.3 積の法則

 大小2つのさいころを同時に1回投げる.

 事柄A:さいころ(大)の目が3以下→1,2,3の3通り
 事柄B:さいころ(小)の目が5以上→5,6の2通り

 AとBがともに起こる場合は,右の樹形図より6通り.

 ところで,Aが起こるどの場合でも,Bの起こる場合は5か6の2通りである.
 このときAとBがともに起こる場合は, \[3\times2=6(\mbox{通り})\] といった具合に計算できる.

 一般に次が成り立つ:

積の法則 事柄 A が起こる場合が $m$ 通り,その各々の場合に事柄 B が起こる場合が $n$ 通りあるとき,A と B がともに起こる場合は,\[mn\ \mbox{通り}\]


高校数学ノート[総目次]

数学A 第1章 場合の数

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1. 集合 無料       【ノート
2. 場合の数 無料     【ノート
3. 順列           【ノート
4. 円順列・重複順列     【ノート
5. 組合せ          【ノート
6. 二項定理         【ノート

※【ノート】はスライドの内容をまとめたものです.