場合の数(樹形図、和・積の法則)

高校数学[総目次]

数学A　第1章　場合の数

	スライド	ノート	問題
1. 集合
2. 場合の数
3. 順列
4. 円順列・重複順列
5. 組合せ
6. 二項定理

2．場合の数

2.1　樹形図

数え上げの原点は，この図にある

　これからしばらくの間「…である場合は何通りか？」といった問いを考えていくことになる．しかし見つけた端から「1通り，2通り，3通り，…」と数えていくと，多くの場合，見落としを招き，あるいは同一のものを重ねて数えるという過誤に至りかねない．場合の数を考える上では

漏れなく，ダブりなく

が何にも増して重要であり，これを実現するために様々なアイデアが考案されている．その1つで最重要といえるのが次に紹介する樹形図(じゅけいず)である．

例題1　1,2,3を1度ずつ用いて3桁の数は何通りできるか．

　図より，6通り…(答)

　上のような図を樹形図という．樹形図を見れば，「漏れなく，ダブりなく」がひと目で確認でき，題意の数が確かに6通りであるとわかる．このように樹形図は極めて優秀なツールと言える．樹形図によれば「…の場合は全部で何通りあるか」の答えが最後の枝(破線で囲まれた部分)の本数に示されている．ここでは最後の枝が6本であるから求めるものは6通りである．

例題2　大・中・小の3つのさいころを投げるとき，出た3つの目の数の積が12となるのは何通りあるか．

樹形図の弱点

　樹形図を描けば，どれほど複雑な設定であっても機械的に答えを導き出せるため，極めて優秀なツールである──そのようなことをすぐ上で述べておきながら，たちまち矛盾するようなことを言うようだが，求める答えが「最後の枝の本数」によって示されるという性質上，場合の数がわずかに増えるだけで枝がどんどん広がり，図全体を制約ある紙面に書き尽くすことには相等難儀する．従って樹形図だけでなく，これを補う別種のアイデア，あるいは代替の方法論が，やがて不可欠となってくるのである．

2.2　和の法則

同時には起こらない事柄を考えるとき

例　さいころを1回だけ投げる場合

　事柄A：2以下の目が出る．→1と2の2通り．
　事柄B：4以上の目が出る．→4,5,6の3通り．

　AまたはBが起こるのは，1,2,4,5,6 の5通りである．

　ところで，AとＢは同時には起こらない．（さいころを1回投げたとき，2以下の目が出て，かつ4以上の目も出る，つまり，2つの目が同時に出るということはない．)
　このとき，ＡまたはＢが起こる場合は， \[2+3=5(\mbox{通り})\] という具合に計算できる．

　一般に次が成り立つ：

和の法則　事柄 A, B は同時に起こらないとする． A の起こり方が $m$ 通り，B の起こり方が $n$ 通りあるとき，A または B の起こる場合は\[m+n\ \mbox{通り}\]

注意

　「同時に起こらない」という仮定は重要である．例えば，

　事柄A：2以下の目が出る → 1と2の2通り
　事柄B：偶数の目が出る　→ 2，4，6の3通り

とする．

　このとき，AまたはBが起こる場合は，

　✕　$2+3=5$
　○　$2+3-1=4$

2.3　積の法則

AかつBの場合の数を考えるとき

例　大小2つのさいころを同時に1回投げる．

　事柄A：さいころ(大)の目が3以下→1,2,3の3通り
　事柄B：さいころ(小)の目が5以上→5,6の2通り

　AとBがともに起こる場合は，右の樹形図より6通り．

　ところで，Aが起こるどの場合でも，Bの起こる場合は5か6の2通りである．
　このときAとBがともに起こる場合は， \[3\times2=6(\mbox{通り})\] といった具合に計算できる．

　一般に次が成り立つ：

積の法則　事柄 A が起こる場合が $m$ 通り，その各々の場合に事柄 B が起こる場合が $n$ 通りあるとき，A と B がともに起こる場合は，\[mn\ \mbox{通り}\]

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